知识的阶梯：从康德到哥德尔不完备定理

1930年9月8日晚，德国数学家大卫·希尔伯特在柯尼斯堡走上麦克风，通过无线电向他的同胞发表讲话。他时年68岁，刚刚退休，正处于声望的顶峰。这场演讲是对纯粹理性的辩护，发表于伊曼努尔·康德的城市，结尾是两句后来被刻在他墓碑上的话：Wir müssen wissen. Wir werden wissen。我们必须知道。我们将会知道。

有些问题是否对人类心灵封闭？世界上是否存在我们永远无法知晓的真理？希尔伯特认为，至少在数学范围内，情况不可能如此。对他而言，数学是一场用符号进行的游戏：人们可以把正确的公理确立为游戏规则，每一个数学问题都能得到解决。他错了。

在他发表柯尼斯堡演讲的前一天，在同一座城市举行的一次小型学术会议上，一位名叫库尔特·哥德尔的24岁奥地利人悄然宣布，这样的算术系统不可能存在。无论你确立怎样一套合理的规则，总会有某些真实的东西超出这些规则之外，因而也超出我们的知识范围。我们无法知道。我们不会知道。哥德尔的成果被称为不完备性定理，是20世纪逻辑学的里程碑式成就。哲学和数学领域的最新研究已经开始照亮它们所打开的缺口，并由此揭示出关于知识基础本身的更深层的东西。故事始于同一座城市，但要早两个世纪。

当康德想起多年前读过的大卫·休谟的一本书时，他从自己所谓的“独断论的沉睡”中被唤醒。康德曾相信纯粹理性能够教会我们关于世界的每一条绝对真理，但休谟提出了一个令他哑口无言的问题：我们究竟有什么理由相信未来会与过去相似？我们或许见过太阳升起一千次，但我们怎么知道它明天还会升起？休谟论证说，相信未来会与过去相似，只不过是一种习惯。康德无法回应休谟的挑战，沉默了十年。

对休谟来说，证明一个定理就像打开行李箱找出一套衣服。康德不能就此止步

当康德最终以《纯粹理性批判》（1781年）打破沉默时，他给出了一个激进的回答。我们只能认识世界呈现给我们心灵的样子，而我们的科学正是立足于此；本体世界——Ding an sich（“物自体”）——恰恰超出了我们的触及范围。因果性不是我们在世界中发现的东西，而是心灵为使经验能够连贯而提供的东西。当我们看到一只猫把玻璃杯推下桌子时，我们看到的不是一连串赤裸的动作，然后再依据某种形而上学原则推断是推力导致了坠落。不：我们看到的就是推力导致了坠落。因果结构不是我们添加到经验之上的假说；它是经验得以向我们呈现的方式的一部分。它本就在我们的心灵之中。

到目前为止一切顺利：康德已经回应了休谟的挑战，科学的运作变得可理解了：我们是在构建自己的经验。但工作尚未完成，因为还有数学——科学正是用这门语言来表述的。休谟满足于认为算术和代数不过是定义的展开；证明一个定理就像打开手箱取出一套衣服。康德无法止步于此。如果数学只是这样的展开，它如何能为科学提供依据？要么科学没有告诉我们关于世界的新东西，要么这个解释中遗漏了什么。

要展开「7 加 5」才能得到「12」吗？康德认为不是。相反，人们是在心中从 7 和 5 构造出 12。一个多世纪后，一位名叫 L E J Brouwer 的年轻荷兰数学家追随康德的思想，论证道：如果数学家的工作由这样的心理构造组成，那么人们就不能假定任何命题非真即假。这引起了争议：Hilbert 反驳说，剥夺数学家的这一假设，就如同「禁止……拳击手使用拳头」。

Gottlob Frege 在 19 世纪末工作，出于不同的原因认为康德对数学的解释令人无法容忍：他声称，算术不是心理学的。无论是否有人去数，数字都存在。他着手将算术归约为纯粹逻辑，建立在不依赖心灵的真与假范畴之上。这一计划耗去了他二十年的光阴，产生了语言哲学和数学史上一些影响最为深远的进展。它被广泛认为点燃了现代逻辑学科。然而，当他那部巨著《Grundgesetze der Arithmetik》第二卷于 1902 年在印刷厂付印时，根基开裂了。英国哲学家 Bertrand Russell 给 Frege 寄去一封信，指出该体系核心存在一处不一致。后来他在日记中写下的一句忧郁的话总结了他的失败：「我为弄清数的含义所做的努力，结果是失败了。」

在寄出那封信之前，Russell 已经钻研数学的基础问题多年。直到 1900 年在国际哲学大会上遇到意大利数学家 Giuseppe Peano，他才获得了尝试解决这一问题的工具。Russell 要着手建立自己的体系，以取代 Frege 的大厦，与他的同事 Alfred North Whitehead 一起。《Principia Mathematica》于 1910 至 1913 年间以三大卷问世：全部数学，奠基于纯粹逻辑。

数学承载已有的东西而不增添任何东西，就像管道输送水而不提供任何

罗素的学生路德维希·维特根斯坦在一战中服役于奥匈帝国炮兵，一次又一次志愿前往他能找到的最危险的岗位——东线炮火下的一处观察哨，他因英勇至少三次在那里获得勋章。他随身带着笔记本。在炮击间隙，他在本子上把弗雷格—罗素哲学发展成一套关于语言如何触及世界的完整理论：世界由事实构成，句子是事实的一幅图画，凡是可以言说的，都可以清楚地说出来。1918年，他在意大利战俘营中完成手稿，并从营中寄给了罗素。维特根斯坦自认为解决了哲学问题，放弃了继承的财产，离开去奥地利山区教小学。

《逻辑哲学论》成了维也纳一群哲学家的宣言，其中包括莫里茨·石里克、鲁道夫·卡尔纳普和奥托·纽拉特，他们称自己的立场为逻辑实证主义。一个陈述要有意义，就必须有某种办法判定它是否为真。分析性陈述通过展开所涉词语的定义来判定：例如，“所有单身汉都未婚”为真，因为单身汉按定义就是未婚男子。综合性陈述是关于世界的断言，其判定方式是——原则上——走出去观察：“1929年6月3日维也纳下了雨”为假，因为人们本可以观察到那天环城大道上空一直晴朗。除此之外的一切，都只是没有内容的语法。

他们后来被称为维也纳学派，声称数学是分析性的，科学是综合性的。数学的功能是从科学论断中提取信息：它只是搬运已有的东西而不增添任何内容，就像管道输送水却不供应水一样。如果维也纳学派是对的，那么康德和布劳威尔对科学知识与数学知识的限制就完全是多余的。如果。

到1929年，经过希尔伯特、罗素、弗雷格、维特根斯坦、维也纳学派和布劳威尔等人近三十年的努力，数学的基础看起来几乎已经完工。还剩一根横梁，能把整个框架锁定在一起。在1900年巴黎国际数学家大会的全会报告中，希尔伯特提出了23个问题，它们将定义这门学科的下一个世纪。第二个问题是：证明算术是自洽的——也就是说，无论多长的推理链，从公理出发都不会得出矛盾。那根横梁却装不进去。

20世纪20年代在维也纳大学学习物理期间，哥德尔参加了石里克关于罗素的研讨班，这把他引向了逻辑问题，并进而引向了希尔伯特纲领。他1929年的博士论文证明了一阶逻辑的标准系统是完备的——每一个逻辑上有效的陈述，原则上都可以从逻辑公理中推导出来。 这正是希尔伯特想要的结果，只不过针对的是纯逻辑而非数学。一年后，他转向了自然的下一步：算术的自洽性，即希尔伯特的第二个问题。

他在希尔伯特广播演说前一天的哥尼斯堡会议上所宣布的内容，出乎所有人的意料。哥德尔将《数学原理》视为数学在逻辑中的表述，并证明了存在为真、却无法仅凭《数学原理》的资源加以证明的数学命题。其中就包括“《数学原理》是一致的”这一命题。证明的核心诀窍在于在系统内部对关于该系统的命题进行编码——这一手法与罗素致弗雷格的信具有同样的眩晕特质。但罗素的信杀死了一个体系，哥德尔的定理杀死的却是一个纲领。

这位维也纳学派昔日的先知，没有给学派的哲学留下任何立得住的东西

他的论证如此普适，适用于任何合理的算术系统。希尔伯特关于一个能捕捉全部数学——甚至只是全部算术——的公理化系统的梦想，就此破灭。

维也纳方面的反应先是难以置信，继而沮丧。学派的哲学建立在数学是分析性的这一假设之上；哥德尔表明事情没那么简单。卡尔纳普花了数年时间才消化这一结果。维特根斯坦对它不屑一顾，但他本人当时已在否定《逻辑哲学论》。他后来主张，意义不在于使图像与实在相匹配，而仅仅在于人们在公共场合如何言谈。这位学派昔日的先知，没有给学派的哲学留下任何立得住的东西。

希尔伯特从未公开承认哥德尔的结果宣判了他的纲领的死刑。他于1943年去世；他的同事们那时已遭纳粹杀害或流放。他在哥廷根的墓碑上刻着当年他在哥尼斯堡麦克风前说出的话：Wir müssen wissen. Wir werden wissen。我们必须知道。我们终将知道。

哥德尔呢？德奥合并之后，他逃离维也纳前往普林斯顿，在那里他继续为逻辑学做出非凡贡献，同时与挚友阿尔伯特·爱因斯坦一起长时间散步。1947年参加美国公民身份考试时，法官问他像纳粹那样的政权是否可能在美国出现，他开始解释自己在宪法中发现的一个逻辑漏洞，而这个漏洞恰好允许这种情况发生。法官打断了他，迅速将程序推进到结束。（我们至今仍不知道他发现了什么漏洞。）

T正统的回应是保留真理而放弃证明。存在一个数学事实的领域，独立于我们而存在，而公理化系统只能触及它的一部分；不完备性衡量的是事实如此与我们所能证明之间的距离。它最坚定的倡导者正是哥德尔本人。然而，这个领域带来两个问题。第一，随着逻辑实证主义化为废墟，康德的问题卷土重来：如果数学真理独立于心灵，它如何能为存在于心灵之中的科学提供结构？第二，设定这个领域主要是为了让我们避开两个不受欢迎的选项——一边是心理主义，另一边是布劳威尔的限制。避开两个结论，并不等于为第三个结论提供了论证。

1973年，英国哲学家 Michael Dummett 受邀在英国科学院发表年度哲学讲座。他选定的主题是《演绎的证成》——如何在不借助“数学家的研究对象存在于一个独立领域”这一假设的前提下，证成数学家的日常实践。他告诉听众，这个问题或许是“整个哲学中最根本、最棘手的问题之一……”。

Dummett 是20世纪研究 Frege 的大家；他的 Frege: Philosophy of Language（1973）将这位原本鲜为人知的人物推到了该学科的前沿。这本书写了多年，但到了1964年，手稿几乎完成之际，Dummett 却放下了笔。他在前言中解释说，他认为自己的责任是“积极投身反对在英国生活中日益显现的种族主义”。几年后他重新拿起手稿时，Frege 的 Nachlass（即其文学遗产）中一段此前被压下的片段浮出水面，揭示这位哲学家是一个“恶毒的种族主义者”，持有“极右翼政治观点”。当他的书最终出版时，Dummett 记下了这苦涩的讽刺，并反思道，他从中了解到了某种阴暗的东西：一个他所敬仰的心灵，竟会怀有他所鄙视的观点。

我们的语言实践——我们愿意断言、证成和推理的方式——决定了逻辑

Dummett 从 Frege 的逻辑研究中得到的启示是：数学的问题，本质上是语言的问题。他认为，问题出在 Frege 将其理论建立在一种独立于心灵的真理概念之上。“在这一点上（而且仅仅在这一点上），”Dummett 写道，“Frege 对逻辑的新方法是倒退的。”对 Frege 而言，逻辑服从于真理：规则之所以有效，是因为它们保全了某种已然确定的东西。Dummett 将其颠倒了过来。

沿着 Wittgenstein 后期的思想，Dummett 主张“意义理论就是理解理论”。而且他坚持认为，理解必须是可显现的：一个有能力的说话者在知道一个句子的意思时所知道的，必须是她原则上能在语言运用中展示出来的东西。在 The Logical Basis of Metaphysics（1991）中，Dummett 对语言、逻辑与现实的这一阐释得到了最为系统的阐述。我们的语言实践——我们愿意断言、证成和推理的方式——决定了逻辑。逻辑进而决定了什么算作事实，什么算作真理，以及最终什么是我们有权视为真实的东西。

想想一个孩子是如何学会“红色”这个词的。我们不会一上来就告诉她某个波长的光，或者颜色属性的形而上学，或者使“这是红色的”为真的条件。我们指着东西。当她把熟透的番茄叫成绿色时，我们纠正她；当她把消防车叫成红色时，我们表示赞许。随着时间推移，她开始像我们一样使用这个词——而到了那一刻，她就理解了它。在实践背后，并不存在另一个隐藏的事实，她的理解由之构成。理解就是实践，是被熟练运用的实践。

达米特于2011年去世，他于1999年因'对哲学和种族正义的贡献'被封为爵士。他被铭记为上个世纪最重要的英国哲学家之一。然而，尽管其方案极具力量，它始终只是一份纲领：他阐明了一种关于语言、逻辑和现实的理论必须达成什么，但他从未完成这样一种理论。

2005年，乌普萨拉大学的博士生托尔·桑德奎斯特提交了一篇论文，接过了达米特的挑战：在完全不诉诸真理的情况下，为数学家的日常实践提供辩护。达米特给出了一个解决方案必须满足的条件，而桑德奎斯特给出了一个解决方案。他为数学家实际使用的演绎提供了一个精确的数学论证，其基础完全在于断言的实践。拳击手的双手被松开了。

十年后，它在伦敦大学学院计算机科学系被重新发现，那里的一群逻辑学家认识到桑德奎斯特实际构建了什么，并将其发展成一个与正统的真值条件观并驾齐驱的完整框架。该框架如今与基于真理的说明地位相当，其情形类似于哥德尔博士论文之后的局面。数学呢？UCL团队最近表明，达米特-桑德奎斯特框架提供了一种方式来理解哥德尔不完备性定理的主旨，而它所关乎的并非知识的局限。

如果意义来自断言的实践，那么我们的概念只在我们的实践所确定的范围内被确定。一套定义系统是一种确定某事的宪法。例如，美国宪法旨在确立一种民主形式。但宪法所定义的内容取决于它如何被修正。

一项修正案可能背叛宪法所定义的内容。但它也可以将其展开

《数学原理》是算术的宪法。将其读作宪法，就是假定它是一致的；否则，它就是无稽之谈。因此，当我们通过断言' 《数学原理》是一致的'来修正它时，我们并没有改变话题：新的公理只是大声说出了实践已经在做的事情。哥德尔定理重新适用于这个扩大的宪法：被修正的系统有它自己无法证明的真理，有它自己无法认证的一致性。没有哪项修正是最后一项；每一次忠实的扩展都为下一次留出了空间。把握像算术这样的概念，并非审视一个完成的结构；而是掌握一个继续下去的原则：一条铺设下一段线条的规则，而不是一张标明线条终点的地图。达米特称这种开放性为不确定的可扩展性。

忠实是起关键作用的词，因为并非每一项修正都是忠实的。哥德尔声称美国宪法可能通向独裁。这并不意味着独裁是一种民主形式。无论他想到的是什么漏洞，它都会与宪法已经确立的实践相矛盾。一项修正案可能背叛宪法所定义的内容。但它也可以将其展开，引出创始承诺一直以来所要求的东西。只有第二种才是达米特所想的。

我们语言的构成，就是我们当前公共话语的实践。正因为它可以这样扩展，我们所宣称的“真”就不是一个永远无法企及顶端的固定结构，而是可以改变的东西。哥德尔的判定从未适用于数学本身，只适用于宪法的某个版本。在 Sandqvist 体系内，我们可以系统地处理这种扩展。希尔伯特的话比他的纲领更长久：Wir werden wissen. 我们将会知道。不是因为答案在梯子的尽头等待，而是因为真理恰好延伸到我们已搭建的横档之处。