Lex Fridman 播客对谈三位数学家：AI 证明成果对数学研究意味着什么

引言

Lex Fridman (00:00:00) 好的，我想可以公平地说，这是一期有点紧急的节目，主题是数学与人工智能的现状。这是数学史上一个危机时刻。在过去几周里，机器声称已经解决了数学史上一些最难的问题：Navier-Stokes、准 Riemann 假设、唯一博弈猜想，以及数百个其他成果。所以今天和我在一起的有 Steven Brunton，他是华盛顿大学的数学家、流体动力学专家，可以谈谈 Navier-Stokes、湍流、所有流体相关的问题，以及许多其他话题。

Lex Fridman (00:00:43) 此外，还有 Ankur Moitra，他是 MIT 的数学家和理论计算机科学家，今年在普林斯顿高等研究院访问，可以谈论很多话题：唯一博弈猜想以及一般的复杂性理论，还有 AI 如何学习的数学原理，以及所有理论计算机科学相关的内容。还有 Alex，他是罗格斯大学的数学家、数论专家，同样可以谈论非常多的话题，包括 Riemann 假设和 Lean——自动证明与自动验证、检查等等，以及数学中众多其他话题。三位都非常出色。

Lex Fridman (00:01:27) 三位都非常好心，在这么早的清晨赶来和我交谈，组成了这样一个有点像多智能体、人类大脑的迷你集群，试图解读此时此刻究竟发生了什么。

数学的危机时刻

Lex Fridman (00:01:56) 很多数学家，包括 Terence Tao 在内的杰出数学家，都快崩溃了。这是一种敬畏、恐惧、忧虑的混合，也夹杂着些许微光、些许希望。所以很抱歉从感受类的问题开始，但你们对这个历史性时刻有什么感受？也许 Alex，你先来？

Alex Kontorovich (00:02:08) 是的，我不知道我是否会称之为危机。危机中蕴含着很多机会。这是一个重新思考我们究竟想实现什么的机会，而有些人对这种机遇带来的混乱反应消极，有些人反应积极，有时这些反应甚至发生在同一个人身上。所以我认为我们正在进入——如果我们还没有身处其中的话——某种数学知识的黄金时代，此前几千年里我们一直举着一支蜡烛在树林中行走，只能看到这么远。现在我们有了一支手电筒。

Lex Fridman (00:02:46) 我认为我们应该谈谈这一刻的重大意义，尤其是对于那些不了解情况的人。所以也许可以引用你的话，大意是“我靠，如果这是人类做到的，那绝对是立刻拿菲尔兹奖。”也许你没说“我靠”，但基本上是在说这是一个不可思议的结果。所以很多人不会想到在这么短的时间内取得这么大的进展，这确实令人震惊。所以你现在是以一个在过去几天里一直在消化这些感受的人的身份在说话。所以也许回到你最初看到这份报告——在这个案例中是 OpenAI 发布的——时的感受也会很有帮助。

Lex Fridman (00:03:27) 而你们俩碰巧在差不多同一天上了镜头，也许因为那是个会议或聚会还喝了几杯。Ankur，你能谈谈你当时的感受吗？

Ankur Mohta (00:03:40) 结果发布的那个晚上很不寻常。其实这并不完全出乎意料，因为几周来一直有传言说我所在领域中两个最大的问题——也就是唯一性博弈猜想（unique games conjecture）和 RL 等于 L——都在那批结果之中。甚至还有关于矩阵乘法的传言，所以我最初的反应其实是：“哇，全都是真的。谢天谢地，它终于公开了，因为现在人们可以真正去研究它，理解发生了什么，并弄清楚接下来该怎么做。”至于你之前的问题，你知道，我们是什么感受？对我来说，这种感受每天都在变化，但我觉得最大、最核心的感受就是感觉自己被拉向两个截然不同的方向。

Ankur Mohta (00:04:24) 我的工作一直是提出正确的问题，从这个意义上说，这些工具对我来说太棒了，因为它们提升了我学习其他领域的能力。这就像有一位世界级专家用你自己的语言来教你东西。你建立联系的能力被大大放大了。但是，你知道，我工作中最热爱的部分之一就是指导（mentorship）方面。不仅仅是培养研究生和博士后、看着他们做出出色的工作，而是让他们与我一起踏上这些旅程。所以把我拉向另一个方向的是这样一种认识：我们长久以来所拥有的成功手册和蓝图，如今已经被抛到了窗外。

Ankur Moitra (00:05:07) 因此，要指导学生和博士后，告诉他们应该做哪些能产生影响、能让自己崭露头角的工作，就变得困难得多。所以我感到非常兴奋，但也许比以前更感到智识上的孤独，这部分是因为，你知道，很多时候伟大的成果来自于提出非常朴素的问题，至少对我来说是这样。而现在充满了焦虑和恐惧，感觉哇，你必须做出真正重大的事情才能在 AI 成果的海洋中脱颖而出，我觉得我们已经失去了一些耐心，不再愿意播下种子，让参天大树从中生长。

Lex Fridman (00:05:49) 菲尔兹奖得主陶哲轩写道："我感到震惊的是，许多持续进行的、耐心而刻意缓慢的研究努力——尤其是研究生和博士后的努力——针对数学中许多启发性问题，就这样被这样一次发布随意地打断或摧毁了。"就像你无法忘记一部电影的剧透或一条填字游戏的线索一样，一旦你知道了一个已有解法，你就无法再那样富有成效、那样丰富地探索一个问题了，我为那条未走的路、为在疯狂发展这项技术的竞赛中失去的机会而哀悼。所以，如果我们现实一点来说，这对一个博士生和一个博士后来说，比你所描述的可能更加戏剧化。

Lex Fridman (00:06:38) 我的意思是，你说得很平静，但如果我现在是一个博士生，我会处于一种震惊的状态。就像，我的整个生活——我也经历过一些这样的事。我知道我的很多朋友是程序员。去年十二月，当基本上整个编程界都转向让 AI 编写大部分程序时，他们正处于这种震惊状态。所以我会把它比作一种意义丧失的感觉，一种恐惧，就像黑暗的东西。我们会继续探讨这个。Steve，你怎么看？你当时——你现在是什么感受？

Steven Brunton (00:07:15) 我会说我的大部分感受是相当充满希望的。我觉得我是一名工程师。我喜欢解决那些让技术对人类更实用的问题，比如人工心脏和飞机。我们解决真实应用问题的能力将会变得好得多。我们的范围和触达将会扩大，因此对此我极其充满希望。但也存在很多不确定性，而且我觉得，你知道，这种对意义的恐惧、对失去控制的恐惧、对仅仅被排除在我们热爱参与的过程之外的恐惧，确实有点可怕。

Steven Brunton (00:07:55) 我认为，无论是未来五到十年内可能发生的两种路径中的哪一种，我们都不会感到意外：要么我们真的被其他智能远远甩在身后，要么它趋于平稳，成为我们用于满足好奇心、解决人类问题的不可思议的工具。而这种不确定性是巨大的。那是两个截然不同的世界。不确定性对人类来说很难接受。我认为对我们这些选择了数学的人来说同样如此。我们选择数学，可能是因为我们喜欢规则和形式主义，而不确定性让人不舒服。不过，我认为谦逊这一点真的很重要。这是我们重新审视自己为何做这件事的绝佳机会。

Steven Brunton (00:08:44) 比如，人生的目标是什么？不是出名，也不是获得菲尔兹奖。解决有趣的问题、帮助他人、保持好奇心、只是想理解这个世界——这些才是真正值得回归的东西。我们作为人，需要什么才能感到满足？我认为这是一个值得我们思考的非常有意思的时刻。我最近一直在思考这个问题。这对年轻人来说更难，对吧？比如要弄清楚如何找到自己的道路。但某种意义上，我其实对他们比对我们更有信心。

Lex Fridman (00:09:19) 你认为 Terry 说的有道理吗？当一个问题已经被 AI 系统这样解决了，知道它已被解决之后，人们就更难有动力去探索那个领域了？

Steven Brunton (00:09:36) 既是又不是。说我非常同意的部分是，过程和目的地同样重要。比如你去公路旅行，旅途本身通常和到达目的地一样有趣。但同时，如果我们发现另一个国家发明了瞬移或时间旅行，我敢保证我们会在未来五年内重新发明它。如果你知道这是可能的，并且可以稍微逆向工程一下，我们就会充满好奇，我们会深入研究，我们会把它弄明白。所以，知道存在一个解决方案，也是让我们更快到达那里的巨大动力。

AI 会“解决”数学吗？

Lex Fridman (00:10:14) 让我这样来问这个问题。如果这个时刻标志着 AI 基本上“解决”了数学或终结了数学的轨迹起点，你能论证这确实是一条轨迹吗？然后你能论证这不是一条轨迹吗？你能为这两条路径都做出最强有力的论证吗？一条路径是，我们所知的数学将彻底终结，那将变成机器完成的事情，而人类所做的事情将是根本不同的；另一条是，仍然会存在某种与我们当前数学相似的东西。你能为这两种情况都做出最强论证吗？Alex。

Alex Kontorovich (00:11:02) 是的。你说到了两件事，我想把它们分开来说。一个是解决数学，另一个是摧毁数学。那么，呃……让我们把它说清楚。解决数学是什么意思？回想一下国际象棋引擎刚出现的时候，人们说：“哦，这会非常了不起。我们会看到人机对战的比赛。”也就是一个人加上一个计算机系统对抗另一个人和一个计算机系统，但这种情况只持续了大约10秒钟……然后计算机变得太强了，如果你不选择计算机推荐的最佳着法，你就会输。

Alex Kontorovich (00:11:33) 于是人类在那场比赛中的角色就变成了：“好的，接受第一着。好的，接受第一着。”那就不再有趣了，我们现在也很少看到人机对战的象棋比赛了，对吧？所以事实上，我刚和一位名叫 Thomas Goberta 的同事聊过，我们把关于未来可能是什么样子的论证公理化了，其中一个我甚至愿意为了论证而接受的公理，我称之为“已解决公理”。已解决公理是说，让我们假设在未来某个时点——我们现在离那还很远，我也不认为我们一定会到达那里。我们会看到，如果能力确实会衰减的话，它们会在哪里衰减。

Alex Kontorovich (00:12:14) 但让我们假设这个已解决公理，它说的是：任何可以通过人类与 AI 交互解决的数学问题，也可以由 AI 单独解决。这就是已解决公理。这意味着实际上人类没有什么新东西可以贡献了——你可以说“好吧，我有一个问题 X，我想思考问题 X”，但我取得进展的唯一方式，它在问题 X 上取得的任何进展，都只是按下一个按钮。AI 去思考它。这并不意味着它能解决它，也不意味着它能解决每一个问题。黎曼猜想还没有被解决，好吗？那才是我真正想要的解答。我只是没想到在我有生之年会看到任何进展——

Alex Kontorovich (00:12:55) ……朝着它的进展，就像我们几天前所看到的那样。所以并不是 AI 系统在解决每一个问题。它们在解决的是那些可以由人类与 AI 交互解决的问题。这就是那个公理的意思。所以我说，如果我们真的处在那样的世界里，这是否必然摧毁数学？我的有力论点是：不，我不认为它会摧毁数学。

Lex Fridman (00:13:18) 如果那个公理成立，人类的角色是什么？

Alex Kontorovich (00:13:21) 所以我不认为数学——纯数学，不是工程数学，不是那些能治愈癌症、解决，你知道，喷气式——人人都有个喷气背包之类的，或者你能想象的任何其他技术进步。纯数学，你知道，我们知道我们证明定理只是因为我们对它们好奇。我不认为定理的解决方案以 0 和 1 的形式存在于数据中心里对人类有价值。我认为纯数学的价值在于它存在于人类的头脑中。

Ankur Moitra (00:13:52) 所以只是为了，你知道，补充一下，我是说，我很高兴你直接提出了每个人心中的问题。所以谢谢你。我要提醒大家不要过度拟合到单一的目标函数上，对吧？

Ankur Moitra (00:14:04) 因为，你知道，我们过去认为自己只是周围最聪明的存在。你知道，人类数学家能够解决，能够到达最高的树梢。但现在我们面临这样一个事实：许多我们以为还很遥远的问题已经被 AI 解决了。但也许我们可以从中得到的一个安慰是，实际上我们在计算能力上与 AI 解决问题的方式相比非常有限。你知道，在证明同一个定理的同一终点线面前，我脑子里一次真的装不下那么多论文或想法。

Ankur Moitra (00:14:36) 所以为了让我到达同一个终点线，也许我必须发展出更具可推广性和可抽象性的方式来达到那里，这然后不仅能帮助你解决那一个问题，还能，你知道，解释联系或者你想进入的其他方向，对吧？所以当你回顾你写过的论文时，总是令人惊叹的，你可以看到这些线索，有时是看不见的，它们连接着不同的工作领域，因为发展出一套理解问题的方法体系能帮助你应对周围的问题，而不仅仅是得出一个简洁的、形式化的，你知道，单个定理。

Lex Fridman (00:15:11) 但这里有趣的是，那些线索，你说有时是看不见的，现在对 AI 系统来说却相当可见。看起来这也许正是它们能够取得如此大进展的真正原因，因为它们能够提取这些线索并顺着它们探索，因为它们拥有如此多论文的全局视野。

Ankur Moitra (00:15:31) 我认为这取决于你所说的"主线"是什么意思。对我来说，证明结果的意义在于让你更好地理解周围的世界。数学对我而言是一种进行抽象、理解事物的工具。当你取得一个重大成果时，重要的不仅仅是命题本身的真理性，还有你在达成它的过程中所学到的东西。通常人们的第一反应是："好吧，你证明了一些了不起的东西，但你是怎么做到的？"然后，一旦人们消化了那个新想法、新定义、看待事物的新方式，附近就有许多其他问题随之迎刃而解。所以从某种意义上说，你是在构建一些结构，它们不仅能帮你攻克一个问题，还能帮你攻克一整片问题的海洋。

Ankur Moitra (00:16:15) 而且，你知道，并不是说我们需要完全形式化的结果才能做到这一点。有时候我们用非常粗略的隐喻来推理，这有助于我们概念化周围的世界。

Lex Fridman (00:16:27) 这其中有多少是——Alex 在线下提到过——"注意力就是你所需要的一切"。这其中有多少是人类把光投向那些"所谓"重要领域的本领？也就是人类提出正确问题、提出重要问题的能力。

Alex Kontorovich (00:16:42) 情况一直如此。在这个领域内——在 AI 出现之前——你可以这样想：这里有一套公理，仅仅从公理出发，你就可以进行逻辑推导，对吧？我们可以从公理出发证明一些定理。而我们可以证明的定理的空间，比人类真正在乎的定理的空间要大得多、多得多。所以，几乎按定义来说，这就像一个同义反复：我们会为之兴奋的定理，就是作为人类我们所关心的定理。所以也许 AI 能说服我们存在某种有趣的结构。也许它会说："嘿，看看这边。让我给你这个新定义或什么的。"它还没有做到这一点。

Lex Fridman (00:17:19) 而且有时候，我们选择所关心事物的机制，可能具有某种应用价值。所以 Navier-Stokes 方程与流体以及所有自然系统相关联。但它也可能是一种美与难度的某种混合体，恰恰吸引着我们。也许存在一种直觉。素数充满了这些非常复杂的问题，也许在直接意义上没有明显的应用，但它以某种方式吸引着我们。也许作为追求困难事物的一种副产品，伟大的应用数学、工程学以及现实世界问题的解决方案会由此产生。

Ankur Moitra (00:18:06) 举个例子来说，对吧？很多时候我在研究一个问题时，可能心里有个更大的目标想要实现，但通常我做的是，试着找到那个最简单、最让人尴尬的、我仍然不知道如何解决的开放问题。你知道，把它提炼成这样的东西——天哪，我们怎么会连这个都不知道？这个过程让人感觉走在正确的道路上，因为当我们能解决那个例子时，也许我们就在积累攻克其他问题所需的工具集。所以我认为，我们确实需要更加审慎地思考：我们到底关心什么？从元认知的角度来看，我们如何使用这些工具？我们究竟把什么委托给了它们，又没有把什么委托给它们？

Ankur Moitra (00:18:49) 而我们真的还处在起步阶段，只是在一边前进一边试着把碎片拼凑起来。一方面，寻找一个证明有点像探索一棵可能性之树。基于你见过的其他证明，你可能会有一些直觉，知道该往哪个方向走。也许我该走这条分支，也许我该走那条分支。但有时我们会遇到树上那些分支因子非常高的节点。我们就是不知道该往哪个方向走。我们甚至无法猜测，如果走下去会发现什么。而现在，在这个数学的“半人马”（centaur）世界里，我们突然拥有了另一个可以与之交互的智能体，对吧？

Ankur Moitra (00:19:28) 而如何正确地使用这个工具去搜寻优美的理论，我认为将会是一个充满挑战且不断演变的过程，但重要的是不要忘记，我们关心的不仅仅是定理。我是个数学家，是个理论计算机科学家，但我最近也读了一些更广泛的书，读一点社会科学，只是为了让自己与正在发生的所有这些变化和解。其中真正让我印象深刻、我很喜欢的一点是，有一个概念叫做“门卫谬误”（doorman fallacy），非常有意思。这个想法是，你把一份复杂的工作提炼成它最简单、最可见的任务。那么门卫是做什么的？我猜他们是在人们进出时帮忙扶着门，对吧？

Ankur Moitra (00:20:12) 当我们住在纽约时，我们很喜欢和门卫聊天。他们是很好的人，但是，如果你把这份工作简化成一项简单的任务，你可能会想：“哦，我可以用一扇能探测人们进出的自动门来取代他们。”这样你就忽略了他们工作中所有那些能带来很大价值、却难以言说的方面。我认为这也是在 AI 时代思考数学的好方式。数学家是做什么的？这项工作中最简单、最显眼的部分就是证明定理。而那些关于悬而未决数百年的猜想的定理，比如费马大定理，都是非常显眼的东西，我们花了很多时间来推广它们。

Ankur Moitra (00:20:57) 但我认为那并不是数学家所做的全部。我喜欢这样理解：数学家是一个深入思考的人，而深入思考的副产品就是证明古老的猜想，但同时也是构建新的理论、构建看待旧事物的新方式、建立新的概念联系。这些方面也许 AI 最终也会吞噬掉，但我们目前还没有走到那一步。所以，尽管这是一个意义重大的时代，我认为现在还不是按下恐慌按钮的时候。

Ankur Moitra (00:21:27) 我认为现在是重新聚焦我们价值观的正确时机，作为一个领域展开这些对话，并记住我们所做的工作确实有着多元的美学和目标。当某样东西变得廉价时——比如为定义明确的问题解决问题——那些与之正交的其他方面反而会变得更加珍贵。

Lex Fridman (00:21:49) 这其实非常美。门卫谬误——这里引用 Perplexity 的说法——是把一个人的工作简化为其最明显的任务，并假设自动化该任务就取代了整个岗位的价值。一家酒店决定，引用原文：“我们在付钱让人开门。自动门可以更便宜地做到这一点。”但事实上，门卫还要迎接客人、认出回头客、处理行李、叫出租车、提供安全保障、劝退不受欢迎的访客，并彰显酒店的档次、让客人感到被照顾。

Ankur Moitra (00:22:23) 那是我最喜欢的部分。我查了一下门卫是做什么的，天哪，我们和数学家有很多共同点。如果我不彰显品牌价值，我就不知道自己在做什么了。

Lex Fridman (00:22:32) 完全正确。这很有趣。但我认为，对我们人类整体而言，对数学家而言，任务就是提出那份清单，也就是真正更明确地说明人类究竟在做什么。而我还没有听你们任何人提到美。如果我已经过多地提到美，我道歉。但从我这个外行粉丝的角度来看，数学家在某种程度上是阐释者，是广义上美好事物的学者。

Alex Kontorovich (00:23:08) 完全正确，就在五秒钟之前，解决新的深刻定理的能力与我们作为人类数学家真正想要的东西之间还存在着近乎完美的相关性。而我们想要的正是你所说的：美、理解、思想的深度，以及你能够按下按钮、毫不费力、无需任何深刻思考、也无需任何必要知识就得到过去我们用来替代的那些东西。就像现在有人说，“来个突破”，然后把他们找到的任何东西发到 Twitter 上，那么，数学家拿这个该怎么办呢？

Steven Brunton (00:23:48) 我会再往前退一步：在回答问题和解决问题之前，是提出正确的问题。所以我认为衡量好的问题解决能力的方式，就是提出正确的小问题，提出一个有趣、可以解决、可以解释的问题。因此我觉得，提出好问题的价值——一直是我们看重同事的一个方面，而这将变得越来越有价值。

Ankur Moitra (00:24:16) 我完全同意，而且为了强调其中隐含的一点，我认为提出正确的问题需要大量的数学洞察力。

Alex Kontorovich (00:24:26) 嗯嗯。绝对如此。

Ankur Moitra (00:24:26) 所以，你会看到人们一直发表这样的评论：“我们今后会看重什么？是提出正确的问题。是做精彩的报告。”但是，我不想贬低——并不是说你在贬低，只是想说得更明确一些——我不想贬低数学洞察力在这两项任务中的作用，因为当我们说报告将变得更重要时，我并不想象我们都会变成 Twitter 网红和 TikTok 上的什么人物。

Ankur Moitra (00:24:54) 我希望不会。因为，你知道，真正引人注目的是那些被你的学术共同体所采纳、并随着时间推移变得有影响力的想法。所以，我想把这一点与 Lex 之前提到的一个问题联系起来，他当时问我，我是不是过于乐观了？可能吧，与研究生看待这些事情的方式相比。但我认为在短期内我最担心的事情之一，是我们的体系和制度将会发生什么。你知道，不仅仅是招聘、终身教职这些事情，而是当一个研究生开始攻读博士学位时，他们是这个领域的新进入者。

Ankur Moitra (00:25:32) 他们试图吸收本领域的技术、了解重要的问题，并试图弄清楚如何为自己闯出名堂。我们过去的做法是给他们一份非常简单易行的蓝图：找一个人们关心的问题并加以改进，这样人们就会知道你是谁。你会在顶级会议上发表论文，机会之门会为你敞开。但现在我认为这份蓝图在很多方面已经改变了，因为现在有如此多的成果涌现，我们所有人都被淹没了，所以我认为花时间重新思考这份蓝图是可以的。

Ankur Moitra (00:26:07) 我们仍然在意同样的东西，比如能够影响你所在共同体的想法，只是这些想法更难用某种我们可以交给他们的简单评分标准来操作化。所以我仍然持乐观态度。我只是认为这需要重新改造我们的许多体系和制度才能做到。

AI 能创造新的数学吗？

Alex Kontorovich (00:26:25) 顺便说一下，回到你的观点，我其实并不相信「已解决公理」。我不认为我们已经到了那一步。我可以证明一个定理，但我不明白为什么这个证明行得通。这里发生了某种魔法，在我以某种方式将这一现象一般化并更深入地理解它之前，我无法看出为什么证明会以那样的方式奏效。也许这就是我并不真正相信「已解决公理」的原因之一，因为我们所做的工作更具探索性，而什么才算一个好问题，不仅仅是「这是黎曼猜想，在它上面取得一些进展」。

Steven Brunton (00:26:57) 所以我认为你也提出了一个非常重要的观点，就是关于我们的概念的普适性和推广性。与数学中的美相关，我认为一直以来的黄金标准始终是：你的结果能有多简洁，以及它能推广到多广。在所有可能被证明的定理这个无穷空间中，找到某种既简洁又能推广的结构，我认为这仍然是黄金标准。而且如果我没弄错的话，提出问题的仍然是人类。所以，比如我们用 AI 证明了 Navier-Stokes 方程的存在唯一性，但引导这一切的是人类。提出问题的仍然是人类。我很想看到下一个突破——如果你有一台机器能够证明你提出的任何定理。

Steven Brunton (00:27:46) 我希望它能开始告诉我，我应该提出什么问题。

Alex Kontorovich (00:27:49) 你觉得有没有可能，那台机器只是做一个 for 循环——然后找出所有简洁且可推广的，基本上就是所有的 E 等于 mc 的平方？

Steven Brunton (00:28:00) 这今天就在发生，实际上。确实有一些研究项目正在系统性地、自动地发现那种最简洁的物理定律。这更像是物理上的支配定律和方程，而不是数学定理。

Alex Kontorovich (00:28:15) 也就是观察自然系统，然后试图在这些自然系统中看看——是否存在简单的物理定律能够描述它们的运作方式。

Steven Brunton (00:28:23) 是的，把它提炼到最基本的要素。这样你就能重新推导出已知的理论。如果你观察下落的球，你就能推导出引力和 F 等于 ma。如果你观察流体，你就能推导出 Navier-Stokes 方程。然后把这应用到数据上——对于那些我们还没有写出简单方程的领域，比如天气、湍流、太阳耀斑之类的东西。我猜数学领域也在发生类似的事情，可能也存在这些可以被推导出来的最简洁的要素。

Alex Kontorovich (00:28:54) 你觉得数学中是否存在一个很大的空间，里面都是可以被自动发现的简洁且可推广的东西？

Steven Brunton (00:29:01) 我对于已解决公理的版本是：作为一个人类数学家，我所做的任何事情——我曾多次坐下来想，"好吧，大语言模型永远做不到我做的这些。"然后我会想，"嗯，为什么不能呢？我可以提出一个问题。它可以——你知道，我可以问它一个问题。"我可以问它："我应该提出什么问题？"

Steven Brunton (00:29:21) 对吧？有点像——因为它是一个如此通用的系统，我并不是说它现在就擅长所有这些事情。我——但我对"已解决公理"的版本是：任何我作为一个人能够贡献的东西，它也能自己贡献出来。我真正想表达的意思是，就价值而言，我能给这个领域带来什么？不能只是"我问了一个好问题"。在"已解决公理"的世界里——再说一次，我不相信这个公理——但即使在那个世界里，也不应该只是"我问了一个好问题"或"我证明了一个漂亮的定理"。即使在那个世界里，我认为你仍然需要数学家，需要具备人类数学专长的人。

Alex Kontorovich (00:30:02) Ankur，你相信"已解决公理"吗？在我们离它有多近的这个谱系上，你觉得人类的角色是什么？

Ankur Moitra (00:30:13) 我想我并不真的相信"已解决公理"。我觉得——你知道，也许它在某种程度上有一半是真的，而弄清楚哪一半是真的将会非常有趣且充满挑战。所以我认为在AI能解决什么问题方面，会有重大的惊喜，还会有更多发现。但对我来说，当你面对一项真正非常非常优秀的新技术时，危险在于当你试图理解它为什么有效时，你会通过拟人化的方式来理解它。所以，也许这里较早的一个教训来自深度学习。有一些令人惊叹的例子。你可以用神经网络做到人类水平甚至更好的物体识别。

Ankur Moitra (00:30:55) 但总的来说，它成功的方式不如人类那样稳健，因为有很多像对抗样本这样的例子——你可以在自然图像上添加非常细微的图案，就能完全欺骗这些物体检测系统，但骗不了人类。我在MIT有一位前同事Alex Madry，他有一些非常棒的工作，我非常喜欢。我想标题大概是《对抗样本是特征，不是缺陷》。他们做了这样一个很酷的实验：你取一堆自然数据，比如猫和狗的照片，训练一个深度网络来很好地识别它们。然后你对它们添加一些对抗性扰动，让AI系统把猫看成狗，反之亦然。

Ankur Moitra (00:31:43) 这有点像是一个微小的图案，改变了物体检测器的工作方式。然后你创建一个完全虚假的数据集，里面有叠加了狗图案的猫的照片，并把它标记为狗，反之亦然。令人惊奇的是，当你用所有错误的标签在这个数据集上训练深度网络时，它学到的东西在自然数据上表现得很好。所以不知怎么的，当我们识别什么是猫和什么是狗时，我们能够用可以表达的方式来描述——比如它的腿、它的尾巴以及它的整体形状。

Ankur Moitra (00:32:17) 但在很多情况下，当深度网络或 AI 能做到一些事情时，它们或许能找到解决问题的窍门或后门，利用数据中大量人类所不具备的统计关系。所以对我来说，你知道，不要在你能做什么和 AI 不能做什么之间划出非常明确的界限，因为你会错的。但这并不意味着我不相信会出现某种界限，至少因为我认为我们过度拟人化了它们解决问题的方式。当我翻看 OpenAI 的解答时，它们看起来根本不像是人类解决的那些问题。

Ankur Moitra (00:32:59) 所以对我来说，似乎仍然存在一个非常大的质的差异，而这实际上是一个合作和半人马数学的机会，而不是对 AI 霸主的恐惧。但是，谁知道呢？下周可能就错了。

Lex Fridman (00:33:13) 你的直觉是怎样的：这其中有多少是 AI 只是把成千上万篇不同的论文串联起来，顺着线索——抱歉又用回这个比喻——顺着不同论文的线索，然后基本上只是阐述那些已经存在于不同论文中的证明，而你只是做了些微小的连接？还是它实际上在发展新的数学思想？你有没有看到任何那种 AlphaZero 在围棋中天才一招的闪光？

Alex Kontorovich (00:33:47) 是的，第 37 手。

Lex Fridman (00:33:48) 第 37 手。

Alex Kontorovich (00:33:49) 我没有读完他们全部七百篇论文。在我看过的那些中，有些人轻蔑地谈论它，比如说，"哦，它就在凸包里。"你做我们人类已知的那些招式，只是做得非常好，做了非常好的树搜索。我不会称之为凸包。我认为 Tim Gowers 有一个很好的说法，把它称为由所有这些东西生成的半群。是的，把已知招式组合起来是同一个概念，但已知招式所能达成的空间，比这种带有贬义的凸包要大得多。

Alex Kontorovich (00:34:29) 就拟黎曼猜想而言，它所采取的招式都是人类已知的东西，而且有一连串非常长的招式，当你看到时会感到震惊，说，"天哪，太美了。你怎么想到的——你怎么……"我当然在拟人化它。"你怎么想到在这一步之后走那一步，然后又走那一步？"是的，确实如此。

Lex Fridman (00:34:53) 你能向更广泛的公众阐述一下其中的直觉吗，半群与凸包之间的界限，那个带有贬义的凸包，以及准RH，当然就是准黎曼假设，那是重大证明之一。

Alex Kontorovich (00:35:06) 好，让我试着这样来讲。你有——把它想象成一个气球。气球的内部就是它的凸包。所以我们有所有这些成果——所有这些数学家构想出来的想法，而其中的任何东西都是它们的某种线性组合。但它感觉是紧凑的。就像存在某种封闭的、围起来的区域，而在那个区域内，AI 并没有真正取得新的进展，因为它没有把气球推出去。它还没有给我们带来新的想法。

Lex Fridman (00:35:36) 而它带有贬义，是因为那里的直觉是，我们本来可以做到，数学家本来可以做到，因为它已经相当明显了。它已经在已经被思考过和发展的事物范围之内了。

Alex Kontorovich (00:35:48) 是的。它读过每一篇论文。这正是 Ankur 刚才所说的。它读过每一篇论文。它已经把所有这些都内化了。这比任何人类大脑所能容纳的还要多，更不用说有时间去阅读、学习和内化了。所以在广度上，是的，它胜过任何人类。然后在深度上，你知道，它真的产生了一个真正的新想法吗？你可以争辩说，至少在准黎曼假设这个案例中，我不会说它是一个真正的新想法。它是许多非常知名的东西的一个漂亮组合。

Alex Kontorovich (00:36:22) 有很多人正在懊悔不已，他们在二十年前有过某个方向的想法，而两年前，在三次 theta 函数和三次高斯和方面有了一个重大突破，你知道，那最终成了 AI 通向解答的路径。但与半群相比，我把半群想象成像拼贴瓷砖。你知道，你只是在棋盘上摆放瓷砖，而你被允许做的是，每当你有一块瓷砖时，你可以在它的左边、右边、前面或后面再放一块瓷砖。然后你就可以开始拼贴东西了。那就像是一个半群作用。而问题是，嗯，你能用它到达多远？你可以走到所有——我不知道。你知道吗？

Alex Kontorovich (00:37:06) 你可以用现有的想法走得非常非常远，可能证明的东西比我们人类能够探索的要多得多。

Lex Fridman (00:37:14) 所以你的直觉更多是在半群的方向上，意思是至少有扩张的微光，而不是凸包内部的线性组合。

Alex Kontorovich (00:37:28) 你知道，我们如何选择去解读它在做什么，我认为这取决于我们自己。但在整个数学史上，一直存在一些看似非常困难和深刻的问题，然后有人提出了一个三页纸的解法，非常初等，可以讲给本科生听，而且本可以在二十年前问题刚提出时就被发现。如果它在二十年前就被发现了，它就会是某本教科书里的一个习题。正因为那个解法没有被发现，而非常聪明的人在上面工作了很长时间，取得了一些渐进式的进展，让这个问题变得非常有名，所以当它真正被解决时，就成了件大事。这在数学中时不时会发生。

Alex Kontorovich (00:38:11) 而我一年前写的时候说过——今年夏天有一届国际数学家大会，我在写他们要求提前十个月提交的会议论文。所以我说，你知道，"我现在要写关于数学和 AI 的什么内容，才能在十个月后依然有意义？"我认为其中的内容在某种程度上是经久不衰的。我坚持我写的东西。但我在那里写的其中一点正是：我们将发现，有比我们想象中多得多的问题，我们认为当前技术无法触及，但实际上如果能以恰到好处的方式把它们组合起来，当前技术是可以触及的，而这正是 AI 擅长的。

Alex Kontorovich (00:38:46) 同样，有人可能会把它解读为，"哦，所以它在内部，你知道，这些解法在凸包内部。"你想这么称呼它，那也行。我认为这，你知道——这并非无效。

Ankur Moitra (00:38:55) 所以我喜欢所有这些比喻，你知道，也包括气球。气球的关键在于内部和外部之间的边界，而它之所以带有贬义，是因为你似乎并没有改变这个边界。但我——你知道，这些问题确实改变了边界。而且，你知道，也许更具体的一点是，在那批 OpenAI 问题之后，人们将要研究的问题类型将永远不同。你知道，其中至少有几个成果是那种改变领域的成果，它们会改变你会把什么样的问题交给年轻研究人员，你想探索哪些领域，因为你对整个领域的构想已经截然不同了。

Lex Fridman (00:39:37) 所以不只是因为——因为它扩展了，而是因为这种扩展本身改变了有趣问题的方向。

Ankur Moitra (00:39:45) 没错。事实上，你知道，有一个问题可能最容易说明它对人们产生了怎样的影响，而它其实并不是来自 OpenAI 的那次发布。它是 Anthropic 的一个结果，由我的同事 Virgi Vassilevska Williams 和后来的 Josh Alman 撰写成文。这是关于 3SUM 问题的。我会说，它对所谓的细粒度复杂性理论产生了重大影响，因为有一个很大的意外，就是说，一个你在编程面试中经常遇到的非常基础的问题，实际上可以在渐近意义上比任何人已知的解法快得多地解决，而这与整个领域的预期是相反的。

Ankur Moitra (00:40:25) 事实上，整个理论都是围绕这样一个想法建立起来的：如果这个问题真的那么难，那么所有其他问题都会继承它的难度。所以现在，由于那个问题比我们想象的要容易，你知道，有了一个稍微好一点的算法，你知道，是的，这会给你在整个领域中带来很多新算法。但它也改变了这个领域的性质，因为那里的目标是把所有这些问题放在一起，说我们应该把它们作为一个整体来研究。但现在我们某种程度上又回到了这样一种状况：也许分别研究它们才是正确的方式。

Ankur Moitra (00:41:00) 所以我认为这些例子说明，无论我们从中获得多么深刻、多么可推广的新思想，哪怕只是知道定理的真相，也会改变人们在该领域组织研究的方式。而且，你知道，对于其中一些问题，覆水难收了。

Alex Kontorovich (00:41:18) 我的意思是，想象一下那七百个问题中有一个能在多项式时间内完成因数分解。那绝对会改变——每个人都会知道。就像，你再也不能在 Amazon 上用你的信用卡了。所有电子商务都没了。所有安全通信都没了——就像那样。

Lex Fridman (00:41:33) 你能解释一下多项式时间内的因数分解吗？

Alex Kontorovich (00:41:35) 好的。如果你给我两个非常大的数，每个有一百万位，我可以把它们乘起来，一瞬间就能完成。如果你让我反过来做，比如说你取两个大素数，把它们乘起来，把这个乘积给我，然后你问我：“找出是哪两个数……”你知道，就是因数分解。我们不是让孩子们在学校里学因数分解吗？你知道，那是个谎言。我们并不知道如何进行因数分解。而我们不知道如何因数分解这一事实，正是我们能够以各种安全方式相互交流的原因。所以所有现代的——基本上，现代世界都依赖于这样一个事实：我们没有算法能从一个大数中提取出它的素因子。

Ankur Moitra (00:42:21) 很多电子商务都依赖它，因为它是公钥加密中许多方案的基础。但是，众所周知，存在用于因数分解的量子算法，所以……如今人们非常重视寻找后量子的密码学基础。

Alex Kontorovich (00:42:38) 是的，基于格的方法，而且——是的，我们已经在担心当量子计算机足够大时会发生什么，但在量子计算机大到足以构成真正的问题之前，我们还有一点时间。但并没有理论上的理由。我是说，好吧，因数分解可能不是 NP 难的，但是你知道，我是说，比如说证明 P 不等于 NP。也许那不会——那显然会非常了不起，但那不会……如果它证明了 P 等于 NP，那将会完全——

Ankur Moitra (00:43:08) 那将会非常有意思。

Alex Kontorovich (00:43:09) 那将会非常有意思。

Ankur Moitra (00:43:10) 我肯定会更广泛地在复杂性理论的背景下询问这个问题，但大概 OpenAI 或任何其他公司都不会草率地公布那个结果。

Alex Kontorovich (00:43:22) 那是应该经过，是的，政府以及——

Ankur Moitra (00:43:26) 有时候某些数学成果显然会立刻对世界产生巨大影响。其他成果可能需要几个月来消化，但那个成果会，是的，影响整个国家的经济体系，所以。

Steven Brunton (00:43:44) NSA 雇佣了多少数学家？

Steven Brunton (00:43:49) 数千人，大概是这样的数量。我一直做这个思想实验，你知道。他们可能有什么东西是他们不会告诉我们的？而那是十年前，你知道，有证据表明数学家的协作团队如果以正确的方式拆分问题，可以解决比任何单个数学家难得多的问题。所以我不知道。你介意我再回到——

Steven Brunton (00:44:15) ……那个气球上吗？因为我其实更喜欢半群的类比而不是凸包，但我不认为它应该被解读为贬义的，即使它只是说这些机器是在对人类知识进行内插而不是外推。因为即使存在这样一个由想法和事物构成的凸包，可以从人类发明的碎片中拼凑出来，我们也没有足够快地做到这一点，而且，你知道，存在很多不透明性，而且——这个气球不是透明的。

Steven Brunton (00:44:51) 所以，即使你能让这个凸包变得更加透明，有点像拨开迷雾，给数学家们装上雷达，让他们能看到地平线那边的东西，那也是相当不可思议的，而且我认为我们绝不应该把这理解为贬低。不过，我确实认为它更多是一种外推。

Ankur Moitra (00:45:11) 是的，我们应该说大概是凸包的大小。我们实际上并不知道它有多大。

Steven Brunton (00:45:18) 嗯，这正是重点之一。我们不知道它有多大。我们不知道什么和什么是相邻的。比如，关于我们所知道的东西，有太多的迷雾。而拨开这些迷雾是令人兴奋的。

Alex Kontorovich (00:45:29) 但人类确实会创造新的定义，引入新的概念，这从根本上感觉不同于将现有的想法组合起来并重新包装。当人类这样做时——他们确实会时不时地这样做——真的感觉像是，好吧，出现了一个新的边界点，那么现在你能证明的东西的凸包是什么呢？所以就像你可以拿起这个气球，并且有办法去拉扯它——

Steven Brunton (00:45:55) 而且我们知道它什么时候会膨胀。 somehow——我们有一种直觉，知道它什么时候在变大。你是可以识别出来的。

Ankur Moitra (00:46:00) 在很多方面，研究者的典型形象也会因为这项新技术而改变。我总是很惊讶，当你回顾历史时，多少非常不同的数学领域实际上都是从相似的想法中衍生出来的。其中许多联系在初期推动了发展，但随着时间的推移，它们变得更加专业化。我认为，当然，我们培养研究生的方式，需要确保他们不会以同样的方式过度专业化。我不知道未来的招聘会是什么样子。我不知道未来的期刊会是什么样子。但我认为，那些对更广泛的数学领域有广博思考的人，将处于从这些技术中受益的最佳位置。

Ankur Moitra (00:46:48) 这是我的猜测。我能问一个听起来几乎很傻的问题吗？几十年来，研究的很大一部分是论文。如果你要猜测未来几年，这将如何改变人类贡献其想法的方式，也许是协作，一个团队如何将想法贡献到公共领域？

Steven Brunton (00:47:14) 我的意思是，我不知道纯数学领域的情况如何，但在工程学和一些应用科学领域，我们对学术贡献的看法已经在迅速转变。如果你编写的代码是某个更大基础设施的一部分，可以复用，能够支撑更大的项目——比如 LIGO，或者一些耗资数十亿美元的大型天文学项目，又或者需要数百人和巨额资源的癌症研究项目——那么成果就不一定是一篇 15 页的 PDF。其中包含许多不同的部分：代码、数据、可复用的片段，都可以嵌入到一个更大的框架中。

Steven Brunton (00:47:59) 在我看来，这在 AI 时代显然更加重要：一个可运行的小模块、小工具、API、代码库或数据集，能够被社区或 AI 所利用，其价值越来越大，甚至超过仅仅一个结果或一篇论文。至于纯数学领域会是什么样子，我并不清楚。

Ankur Moitra (00:48:23) 你能谈谈你对这一切正在如何改变的看法吗？哪怕只是观察 arXiv 惊人的演变，它在某些方面与 GitHub 上发生的事情很相似。开源运动中的许多人真的在苦苦思索该怎么做。有些人甚至预言 GitHub 将走向消亡。

Alex Kontorovich (00:48:42) 为什么？只是因为有太多代码被添加到 GitHub 上……以至于它无法承受这种增长吗？

Ankur Moitra (00:48:47) 开源运动之所以成功，原因之一是每个代码仓库都由一两个或少数几个人真正管理，他们是真实的人，而他们-

Lex Fridman (00:48:58) 在心理上、在很多层面上，都被所有的 pull request 压得不堪重负。于是管理变得不可能，他们精疲力竭，产生了这种普遍的感受。开源运动，也许和学术环境类似，需要人有动力去驱动。如果你被这些东西耗尽了精力——就像 Terry Tao 提到的那些想法一样——你就会退出。所以这是一种你想要避免的失败模式。

Alex Kontorovich (00:49:28) 在 AI 出现之前，数学领域的期刊就已经承受着非常非常巨大的压力，这与 AI 毫无关系，只是因为有更多的人在产出更多的知识，把它们投给期刊，而期刊必须进行同行评审，评审人已经筋疲力尽，被要求非常努力地去理解这些定理并加以验证。我认为，比这套系统更糟糕的唯一事情，就是没有这套系统。

Alex Kontorovich (00:49:53) 因为我们的数学认识论——我们抵达真理的方式——是刻意缓慢、谨慎而精确的。回到 Perelman 对 Poincaré 猜想的解答。他把这些论文放到 arXiv 上，然后全世界的人都为此震惊，于是他们邀请他去做讲座。他去了 Stony Brook，去了 NYU，去了 Princeton。

Alex Kontorovich (00:50:17) 他跑遍全国和世界各地，做长达三小时的即兴讲解——大概一小时是他解释自己在做什么，接下来两小时是人们提问：“在第 247 页、引理 412，我不明白你是怎么做到的。”然后他就走到黑板前，用半个小时讲清楚他是怎么做的。所以整个东西都活在他的脑子里。他已经尽最大努力把它写在纸上，然后就轮到我们——整个学术共同体——非常仔细地、详尽而精确地重新审查一遍，并达成共识：是的，这确实是 Poincaré 猜想的一个真正的证明。这花了好几年时间，耗费了大量人力。

Alex Kontorovich (00:51:02) 所以想出一个解法只是这个过程的第一步，而这个过程必须是审慎的，必须由共同体驱动。这正是期刊体系试图实现的目标。

Steven Brunton (00:51:13) 你提出了一个非常有意思的观点，它恰好凸显了这种传统观念：纯粹数学家是一个孤独的天才，解决了某个独一无二的问题，然后向全世界解释它。在许多其他领域，我们早已过了那个阶段——单靠个人已经无法推进电路设计、飞机设计、蛋白质折叠，或者任何天文学研究，我们必须在耗资十亿美元的协作项目中共同合作。再说一次，我是一名工程师，所以我认为领导力显然是一个共同体在面临这种组织危机、从个人模式转向更集体化的模式时所需要的东西。

Steven Brunton (00:52:00) 这很有意思，因为我认识很多数学家，从组织类型上来说，这是一群非常独立的人，不喜欢被指派该做什么，不喜欢被告知该研究什么，天性就非常独立。你知道，我们喜欢独处、独自工作。这就是为什么我们会花那么多时间这样做。

Ankur Moitra (00:52:23) 我觉得这一点说得非常好。光是看到工作方式上的差异就很有趣，即使是在数学和物理之间，比如像……

Ankur Moitra (00:52:31) ……比如大型强子对撞机。所以我的意思是，让我对这些事情持一个相反的观点，那就是，你知道，永远不要浪费一场好的危机。我同意期刊已经超负荷了，会议也超负荷了。我一直觉得我们做了这么多工作，你知道，去评审这些东西，去处理所有这些事情，而现在我们面临的任务是，总得有人去评审所有这些 AI 生成的论文。其中一些很重要，但是，你知道，真的很难让你的社区参与进来做这件事。我真的——你知道，我不知道会发生什么，但我真的很支持寻找新的模式，不是为了取代旧的模式，而是为了缓解随之而来的一些压力。

Ankur Moitra (00:53:13) 所以，你知道，我很想看到这样的模式，也许我们能以更协作的方式来验证这些 AI 证明，对吧？比如 OpenAI 发布的一些成果，你知道，对快速傅里叶变换的改进。你知道，推特上有很多人在不断改进其中的常数。我真的不知道该怎么看待这件事。你知道，我甚至都不上推特。你知道，在我看来，我们需要找到其他的工作方式，你知道，来整理所有改进的现状，同时我们该如何组织和驯服这些想法？

Ankur Moitra (00:53:49) 所以有点引人注目的是，你知道，我们对发表的看法是，你在草稿上下功夫，把它发布在 arXiv 上，那就是你的草稿。你知道，你可能会在某个时候更新并创建一个新版本或第三个版本，但这个草稿属于你。并不真的由社区来添加注释。"嘿，我觉得你可以用不同的方式来论证。" "嘿，我觉得这样简化会更好。" 但也许有些事情我们需要其他的模式，你知道，允许众包让我们的理解不断演进。我完全支持这一点。你知道，另一件事是我很喜欢做研究讲座。

Ankur Moitra (00:54:26) 你知道，做研究讲座我最喜欢的部分之一是，你可以把论文中所有杂乱复杂的部分，那些你明知必须把每个细节都做到位的地方，但那并不是真正让你兴奋的部分，都抛开。有一个关键的想法，还有一个特例，真正说明了那个想法为什么强大。

Ankur Moitra (00:54:45) 而这才是你真正想向人们解释的部分，因为当有人问我关于引理 57 的时候，我甚至都不记得它了，对吧？也许，你知道，论文只是一件整体的东西，被设计成，你知道，写下来并完全形式化。现在我们可以在某种程度上信任 Lean 形式化来处理一些技术构件，这可以让我们重新思考我们最初的写作方式，这样我们可以把更多的重点放在，你知道，这些思想的传播上。

Alex Kontorovich (00:55:20) Mathlib 的模式正是你所描述的那样：取代论文的是一个 PR，一个拉取请求。维护者和审阅者会逐一检查这个拉取请求。他们会在这里那里提出建议。我的意思是，审稿人也会提建议，你可以改进这个改进那个，但在期刊上这不是一个公开的过程。而在 GitHub 这样的开放工作空间里，你可以确切地看到是谁贡献了哪个简化论证的想法，或者你在重复使用这个……你正在重新发明这个已经存在于库中这一部分的想法。你应该直接引用它，然后重构这一部分，诸如此类。而 Mathlib 以形式化方式运作，首次让这成为可能。

Alex Kontorovich (00:55:58) 比如，数学的一个问题是，我们没有为我们的定理、我们的技术引理写出完美规范的说明。如果你随便翻开一本数学书的某一页读一条引理，会有太多背景……因为作者——把每一点背景都写清楚实在太烦人了。所以我们只是默认你已经读过了前面的六十页。现在我可以直接告诉你那条引理的下一步是什么。但当你试图……这意味着你不能像造火箭时拿一个物理零件那样，直接把它从架子上取下来用。

Alex Kontorovich (00:56:33) 所以，如果未来的全部数学都以形式化方式完成，那么规范就内建于对象之中。你知道自己没有以错误的方式使用它，因为你无法以错误的方式使用它——Lean 不会让你那样做。这就是那种众包版的数学。而这正是 Mathlib 在十年前启动时的梦想——让数学的运作方式更像一门科学。

Ankur Moitra (00:56:57) 顺便快速插一句，你能给大家介绍一下 Mathlib 和 Lean 是什么吗？毕竟我们已经提到过好几次了。

Alex Kontorovich (00:57:04) 当然。理想情况下，数学是一个形式化的过程，从一个公理化系统开始，然后由此进行逻辑推理。所以如果人们想到——我不知道，现在高中里还有人学欧几里得几何之类的吗？那本应是让孩子们第一次接触证明、看到公理化结构的那种范本。

Alex Kontorovich (00:57:27) 你可以把这个想法写成软件，然后说：“这是数学真正的公理。这是逻辑推理的规则。”而 Lean——这类软件有着悠久的历史，被称为交互式定理证明器，你在证明中一行一行地写，计算机会说：“是的，这一行确实可以从上一行的目标状态通过逻辑推理得出。”所以 Lean 是一款能让你检查各种事情的软件。它可以检查你代码的规范是否与你试图定义的内容一致。它被发明出来的目的就是编写无缺陷的代码。

Alex Kontorovich (00:58:02) 希望在未来，我们将拥有无漏洞的代码，因为 AI 系统非常擅长发现人类编写的代码中的漏洞，所以这个应用正变得越来越重要。但另一个应用是验证数学结果——

Alex Kontorovich (00:58:18) ……并允许你以非常形式化的方式写出一个数学结果。所以现在 Lean 本身只是检查逻辑步骤的硬件。你不会想在每个数学项目开始时都用零和后继来定义什么是自然数，也就是自然数的 Peano 公理。因此，拥有一个大型的通用库是非常好的，它维护得极好、组织得极好，等等。这就是 Mathlib。Mathlib 是 Lean 生态系统中用于形式化数学的 Lean 库。而且，Lean 只是一个交互式定理证明器。还有很多其他的。它是迄今为止在数学战争中胜出的那个——如果真有什么数学战争的话。这只是两个人之类的竞争。

Ankur Moitra (00:59:03) 而且它正是部分用于证明 OpenAI 发布的所有不同证明都是正确的这项技术。

Alex Kontorovich (00:59:13) 没错。现在这已经成为标准做法了，因为自动形式化已经发展到这样的程度：AI 系统不仅能用自然语言证明一个定理。你不能相信它们的自然语言证明。这些是随机过程。所以它们说出某些内容，并不意味着它们脑子里一定有一个数学模型——不管那是什么意思——和我们的一样。但这没关系，因为它们会写一段基于 Mathlib、基于 Prime Number Theorem Pro– Plus 项目之类的 Lean 代码，并检查它确实已经从公理层面解决了这个问题。

Ankur Moitra (00:59:50) 所以在这里我要岔开话题，这个思想实验在此时可能有点哲学意味，但如果你有这样一个黑箱，它给出你无法理解的证明，会怎样？让我们假设更有趣的情况：不是因为证明太长，而是因为其中的想法对你、对该领域的任何世界级专家数学家来说都说不通。你会怎么处理？

Alex Kontorovich (01:00:13) 所以，几乎可以按定义来说，唯一的方式是——因为逻辑推理规则是写下来的，而且只有几条。只有那么几条。公理也只有那么几条。所以，你拥有无法理解的数学的唯一方式就是规模。

Ankur Moitra (01:00:30) 让我补充一个相反的观点。

Alex Kontorovich (01:00:31) 好的，请讲。

Ankur Moitra (01:00:31) 我还在想的一件事是，去形式化的数学会是什么样子。当然，形式化帮助巨大，让我们确信结果是正确的。但我们自己理解结果的方式，其实很大程度上是在某种未形式化的层面上。比如说，什么是有趣的特例？这个你正在使用的技术是从哪里来的，对吧？也许那就是那个世界的样子。如果我们有这些黑箱，我们会试图把它们拆开，弄清楚如何向它们提出更容易的问题，从而形成某种理解体系，弄明白它们究竟是如何得出答案的。

Alex Kontorovich (01:01:11) 是的，当我们写论文时，实际上有两件截然不同的事情被我们混为一谈。一个是证明的工程化，另一个是把证明传达给别人，而这两者几乎是相互矛盾的。我有过这样的经历——去年秋天我教实分析，你随便翻开任何一本实分析教材，这也是我当年学实分析时的经历。前几讲讲的是什么是实数？你知道，我们必须定义它们，或者把它们构造为柯西——有理数柯西序列的等价类，管它到底是什么意思呢。

Alex Kontorovich (01:01:38) 实分析第一学期的课程要花大约两周才能讲到这里，然后我们有了实数轴，现在我们可以开始做微积分了，用正式的 epsilon 和 delta 定义，诸如此类。我一直觉得这很奇怪，因为我们这样做，而在上课之前，我就知道实数是什么。它就是这条数轴，然后我们花这两周时间讨论有理数的柯西序列，到了第三周，它们又变成数轴了。这到底是为了什么？原因在于，事物被写成或者过去被写成的方式是非常工程化的。你需要先构造出实数，然后才能开始使用它们。

Alex Kontorovich (01:02:15) 但实数，人类在理解到需要正式构造它们之前很久就已经在使用实数了。所以我在课上做的是直接跳进 epsilon delta 微积分。我们做了大约六周的计算，直到我们到了这样一个点：等一下，如果这里有个定理，它在实数中成立。存在某种收敛，某个叫做 Bolzano-Weierstrass 定理的东西。你有一个在实数中跳来跳去的序列，但始终在某个固定范围内。一定存在某个子序列收敛到一个实数。嗯，这在有理数中并不成立。为什么它在实数中成立？实数是什么？所以你不会开始问这个问题，直到你遇到一个需要解决的问题。

Alex Kontorovich (01:02:55) 所以我讲授这门课的方式，与如果它是一个工程项目时所需的方式恰恰相反，因为在你构造出实数、知道它们是什么之前，你没法开始谈论实数。嗯，如果你要做的是构建理论，那这样说是对的。但如果你是在讲一个故事，那你完全可以从实数开始讲起。你对它有一种直觉，而在你的直觉失效之前，你并不需要了解你究竟如何构造它们的细节。

Alex Kontorovich (01:03:19) 所以我认为，我们未来写论文的方式会非常不同，我们会花更多时间去讲述这个故事：我在这个过程中学到了什么，有哪些有趣的东西——你在这里、这里、这里做了标准的操作，但到了这里，你就卡住了，接下来该往哪走？这里有一个想法，说明为什么该往左走而不是往右、往上或往下，或者其他什么方向。而这个故事还伴随着一个 Lean 形式化验证，让你知道工程上确实行得通。因为你不能只是讲故事。

Alex Kontorovich (01:03:47) 如果你只是讲故事，你知道，数学不是音乐——在音乐里你可以讲一个美丽的故事，出现一些平行五度也没关系，你知道，你违反了某条规则，但巴赫一直都在这么做，所以。

Ankur Moitra (01:03:58) 所以我认为这是一个非常重要的观点，只是为了强调 Alex 所说的那一点。你知道，有一种我不认同的数学观，认为数学不过是定理的不断累积。AI 怎么会不好呢？它正在为这种累积添砖加瓦。但是，你知道，数学远不只是关于我们拥有多少定理。它同样关乎与问题搏斗的那段历程，因为当你与一个好问题搏斗时，它也会反击，而你会从中有所收获。它真正关乎的是你在途中——在你与这个问题搏斗的过程中——所建立起来的那套信念和抽象体系，你从中发现了某种更普适的意义，可以应用得更广泛。

Ankur Moitra (01:04:39) 而且我认为这是一个绝佳的机会，让我们摒弃这样一种观念：我们只是在不断公理化，直到得出下一个定理。讲述我们究竟是如何走到这些问题面前的故事，它们与其他问题之间有哪些相似之处，在这个关键时刻，比以往任何时候都更加重要。

Alex Kontorovich (01:04:59) 是的，所以回到你最初的问题，这是否是一个规模问题，嗯，是的，这确实只是一个规模问题，但正如 Ankur 所指出的，我们思考数学的方式是关于故事的，而我们可能并不理解这个故事。你可以逐行跟随一个证明，却不理解其中真正发生了什么。你可能会说，你可以让其他某个 LLM 给你解释这个故事，如果它能想出这样的解释的话。但这正是我们想要的。我们想要故事。我们想要理解。

Lex Fridman (01:05:30) 当你与一个问题搏斗时，它也会反击。我认为对于人类所从事的所有伟大事业来说，这其中蕴含着深刻的真理。关于这个话题，我想和你谈谈有史以来最伟大的一些搏斗——与数学中一些已被攻克的最难的问题。但首先，如果可以的话，我们需要休息一下。

Lex Fridman (01:05:56) 那么 Alex，你是一位数论学家。也许可以公平地说，你所在领域的核心问题是黎曼猜想，而你在前面提到的 Twitter/X 上对准黎曼猜想（quasi-RH）的证明表现出了极大的兴奋。你能解释一下吗？你能解释什么是黎曼猜想吗，你能解释你对此兴奋的本质吗？

Alex Kontorovich (01:06:25) 当然。黎曼猜想有一个大概一分钟的版本……或者五分钟的版本，或者三十小时的版本。我不知道你想走多远。

Lex Fridman (01:06:34) 让我们开始顺着这根线往下拉。

Alex Kontorovich (01:06:36) 我们知道质数是什么。人们对质数的分布很感兴趣，而 Riemann 发现的是，存在一个函数——这完全疯狂——存在一个以复数为输入、以复数为输出的函数，而这个函数支配着质数的行为。它被称为 Riemann zeta 函数，而 zeta 函数的零点，我们指的是那些输出为复平面上数字零的复数输入，也就是复平面上的原点。问题是，这些复零点在哪里？什么样的输入，什么样的复数输入，在应用这个 zeta 函数时会给你一个复数输出为零？这到底是为什么——什么，复数？

Alex Kontorovich (01:07:21) 你在——你说的是什么？我们有这些离散的数字，它们不能被其他任何数整除，就坐落在数轴的自然数里，而现在你却想讨论从一个复空间到另一个复空间的函数。那才是伟大的突破。伟大的突破在于弄清楚如何对素数进行信号处理。你想想，人们之所以能听到你的播客，是因为我的声带在产生声压波。那就是自然空间。然后它进入麦克风，麦克风对它进行分析，对它做傅里叶分析，把它转换成振幅和频率，就只是一堆数字，存储这些数字或者发送这些数字，诸如此类。

Alex Kontorovich (01:08:06) 扬声器随后接收这些数字，并重建出在人们听来像是我的声音的声音。同样的事情正在发生——这就是 zeta 函数对素数所做的事情。它接收素数，你可以把素数想象成四处晃动的空气分子微粒，然后对它进行信号处理分析，从而能够把同样的素数恢复出来。而频率和振幅对应于 zeta 函数的零点。zeta 函数包含了那些信息。而黎曼猜想，也就是所有这些——你可以称它们为黎曼波——的振幅，这些波的叠加恢复了素数的分布。而所有这些振幅应该完全相同。

Alex Kontorovich (01:08:57) 也就是说，演奏素数之音乐的管弦乐队中，每一件乐器都以完全相同的振幅发声。这就是黎曼猜想所预测的。

Lex Fridman (01:09:09) 那么你能不能——实际上我们知道素数是什么，但也许深入到哲学和浪漫的美学观念层面，为什么它们在数学的核心如此有趣、重要、居于中心地位并且美丽？而与黎曼猜想之所以令人兴奋相关的是，为什么弄清楚素数中是否存在模式以及模式是什么如此困难？

Alex Kontorovich (01:09:37) 让我先从你的第二个问题开始回答。为什么某件事很难，只有在我知道答案是什么之后，我才知道怎么回答。

Lex Fridman (01:09:45) 一旦它被简化了。

Alex Kontorovich (01:09:45) 对吧？也许它并不难。也许它并不像我们以为的那么难。我原本不认为自己这辈子能看到准黎曼猜想的证明。所以我在周二看到它，真的非常震惊。

Lex Fridman (01:09:59) 你看到它的那一刻做了什么，比如之后的 30 秒里？你的反应是——你还记得，比如——

Alex Kontorovich (01:10:07) 是的，我知道我当时在——我记得我当时在哪里——……我一看到发布就（想起来了）。当时我们在纽约市的国家数学博物馆年度晚宴上——……所以我一只手拿着威士忌，一边不停地刷新页面。我一边和人聊天、社交，但也一直不停地刷新，因为我知道它会在东部时间六点左右发布。

Alex Kontorovich (01:10:27) 然后发布就来了，事实上，我当时正在和——那里有一位 Quanta 的记者，我们正在聊天，说“哦，是啊，他们要发布这些，你知道的，300 道、400 道”，我们不知道有多少道，结果是 700 道题。我说：“哦，哇，那真酷。它发布了。”于是我看着手机，然后，我看到的第二件事就是 quasi-RH。我就想：“quasi-RH 是什么意思？你该不会是说……为、为了什么？”然后我一看，是 zeta 函数，而且全是 Dirichlet 函数，所以他们一个零点都没有解出来。我就想，这不可能，这不可能是这次发布的内容。这简直——我无法理解——……在那一刻我无法理解我所看到的东西。

Lex Fridman (01:11:11) 在那么短的时间里取得那样的进展速度，是啊。

Alex Kontorovich (01:11:14) 就是，它远远超出了我对可能性的认知模型。而这——这一个月来发生的事情都远远超出了我对可能性的认知模型。费马大定理的形式化，我原本确信我们至少还要三年才能做到那样的事情。

Lex Fridman (01:11:33) 那么，也许你可以详细说说这个。它是在 Lean 里，被形式化为……Lean 里的费马大定理有多大？

Alex Kontorovich (01:11:41) 大概，1300 万行。

Alex Kontorovich (01:11:43) 所以我只是——就在两天前，我在普林斯顿数学系做了一场学术报告，我在里面不厌其烦地解释了什么是 Lean，什么是 Mathlib，同时也解释了当今的 AI 系统——你知道，有这么一个 Mathlib 库，里面的一切都做得近乎完美，抽象程度恰到好处，足够——里面没有——不应该有任何代码在重复使用代码、在别处重新证明定理。一切都是最通用的、最抽象的，而 AI 系统目前能做的就是在那之上再搭建一两层。但它们所做的，其实是在拼凑糊弄。

Alex Kontorovich (01:12:15) 它们还没有经过训练，我不是说它们做不到，但它们目前并不擅长我所说的“规范化”，也就是把一些粗糙的代码拿过来，重构它，弄清楚它到底属于库中的哪个位置，这条陈述、这个引理的规范形式是什么，然后所有的东西，每一个证明都应该是这样的组合：你从这里应用这条引理，从那里应用那条引理，把所有这些东西放在一起，你的定理就出来了。然后它就非常干净，非常漂亮，非常优雅。这就是 Mathlib 所追求的。而我在我的学术报告中说的是，我们今天所处的状态是，只要整本教科书处于 Mathlib 的光环范围内，你就可以把它们完整地形式化。

Alex Kontorovich (01:12:54) 只要它们距离 Mathlib 中已经完成的东西只有一两步之遥。但是当你开始——这也是我的实践、我的经验——当你开始要求它做那些距离库有三四步之遥的事情时，它为这个对象给出的定义，和它为同一个对象给出的另一个定义（因为它是出于两个不同的目的在做这件事），就会发生冲突。你没法把这些东西重新缝合在一起。你真的需要这个库、Mathlib 增长——嗯，为了达到能够做研究手稿的地步，你知道，那些真正使用、综合了大量不同数学领域的研究。

Lex Fridman (01:13:33) 这就是为什么你会预期费马大定理的证明需要——因为它远远超出了 Mathlib 的光环范围，所以会需要相当长的时间。

Alex Kontorovich (01:13:40) 完全正确。Kevin Buzzard 有一笔一百万美元的资助，用来在接下来的五年里——或者我想也许他已经在这笔资助中度过了一两年——把费马大定理的形式化归结为 1980 年代已知的东西。所以他想完成最后那一步，也就是怀尔斯七年的工作，以及怀尔斯-泰勒的工作，最终完成费马大定理，但要建立在我们知道会极其困难的东西之上。他不打算做 Langlands-Tunnell，也不打算做 Mazur。还有各种各样的事情，人们预期它们会比这五年的工作困难得多。

Alex Kontorovich (01:14:16) 而我在那次学术报告中说的一切都错了。我记得我的学术报告是在一个星期三。到了星期五，就有一千三百万行代码从公理出发，费马大定理被证明了。费马大定理的陈述完全是初等的。没有语义对齐需要检查。你只要扫一眼，就知道，是的，这就是那个陈述。Lean 说它是无 sorry 的。

Lex Fridman (01:14:36) 你能解释一下这是怎么做到的吗？

Alex Kontorovich (01:14:38) 是怎么做到的。是 Anthropic 做的，而做到的方式就是 AI 系统变得非常非常强——这仍然不是一个漂亮的证明。它不是那个干净的证明。它不是——要让那个证明达到 Mathlib 的质量，还有大量工作要做，我认为那是重要的工作，也是我们想要做的工作。但就仅仅得到那个无 sorry 的定理而言，他们就是一路硬冲了过去。他们这里拼凑一下，那里拼凑一下，然后，你知道吗，在一千三百万行代码之后，他们得到了费马大定理的一个无 sorry 的形式化 Lean 证明。这绝对令人震惊。

Lex Fridman (01:15:10) 顺便说一句，始终如此也很美妙——因为一切都变化得太快了，所以每个人、世界级专家们所说的很多论断都会是错的。这正是重点所在。而人类讨论的乐趣就在于我们会有分歧，而且我敢说，今天所说的一切中，大约有百分之四十到八十在五年后都会是错的，因为一切变化得太快了。但这正是人类讨论、审议和交流的意义所在，甚至科学过程也是如此：先说出一些东西，然后看哪些能经受住时间的考验。经过十年、一百年，等等。

Alex Kontorovich (01:15:49) 我是在描述我的经历。我在 Lean 和使用 AI 方面有很多经验。我开始用 Lean 是在 AI 出现之前——按我们现在所理解的 AI 来说——那非常辛苦。而 AI 系统一出现，你知道，第一批大语言模型上线时，它们在 Lean 上很烂，但后来它们变好了一点，又变好了一点，我当时就想：“天哪，我可以做库搜索了。”

Alex Kontorovich (01:16:09) 我不用坐在那里盯着找——我知道有一个引理能做这件事，但我不知道它叫什么，也不知道具体是哪一个。它在流形库里吗？在代数几何库里吗？就是说，把这个给我，把这些引理给我。它在这方面做得非常棒，我当时就想：“哦，这太神奇了。我要继续用这些系统。”而我的每一段经验都告诉我，它们能做到，比如说 X，但做不到十倍的 X，而这次是一百万倍的 X。这完全超出了我脑海中对这些系统能力分布的认知。

Lex Fridman (01:16:37) 你有没有一个大致的估计，有多少人参与了这件事？在生成那一千三百万行代码的过程中，人类的参与程度大概是怎样的？

Alex Kontorovich (01:16:46) 我相信是两三个人。

Alex Kontorovich (01:16:48) 而且我相信他们大部分的参与就是：“继续，”全大写。

Lex Fridman (01:16:54) 好的。好吧，所以你认为这真的只是，比如说，温和的引导，而不是，你知道，路径的创造——

Alex Kontorovich (01:17:01) 据我所知，并没有领域专业知识——

Alex Kontorovich (01:17:04) ……在做这件事的那些人身上。

Lex Fridman (01:17:08) 就像关于 OpenAI 或 Anthropic 的那个梗，你知道，提示词就是解决数学——……之类的。然后——

Alex Kontorovich (01:17:15) 做一个突破。

Lex Fridman (01:17:16) 对，对。做一个突破。

Alex Kontorovich (01:17:17) 做一个突破。这就是提示词。然后它就去完成了。

Lex Fridman (01:17:21) 当然，你永远无法确定，从公司的角度来看，有很多动机去把它包装成那样，即使中间可能有很多步骤，无论是在训练的哪个阶段，或者可能有些事情没有说出口，即使最终的提示词是做一个突破，在那之前也可能有很多基础工作，才导致了——我们不知道。

Alex Kontorovich (01:17:45) 我记得那天是星期五，因为我当时完全，就像我的脑子完全炸开了一样，而且那天是劳动节，我们就带着孩子们去了海滩，我需要几天时间，你知道，我不看手机，我不上 Twitter。我只是把，你知道，把我的孩子们扔进海里，然后——

Lex Fridman (01:18:04) 你有没有过那样的时刻，就只是坐着，望着大海，陷入沉思？

Alex Kontorovich (01:18:08) 有啊。就像，这一切意味着什么？其实我在一个月前就已经经历过那个了。我当时就想，我——所以现在这说明的是，自动形式化基本上已经被解决了。

Alex Kontorovich (01:18:19) 它并没有以我想要的方式得到解决。我想要——而且我——而且人们仍然会非常非常努力地研究这个问题。还会发生各种各样的其他事情，就像你证明定理时会发生各种各样的其他事情一样，这些事情是人类理解过程的副产品。当你致力于打造一个精美的数学库时，也会有各种各样的其他事情发生，而这个过程将会继续。这个过程将会非常艰难。它将需要全世界的人们以这种开源方式投入成千上万的人力工时。但就你能否得到一个关于人类已经写在纸上的某个命题的无 sorry 证明而言，我认为那个问题已经解决了。

Lex Fridman (01:18:58) 所以你当时端着一杯威士忌站在那里，一个月前刚经历过这一切，现在又来了一次。

Alex Kontorovich (01:19:03) 对。这是第三轮了。

Lex Fridman (01:19:05) 这是第三轮。

Alex Kontorovich (01:19:06) 因为我从劳动节回来时，那是 Navier-Stokes。

Alex Kontorovich (01:19:10) 但这一次——

Lex Fridman (01:19:10) 所以我就想：“我刚刚还在为 FLT 哀悼。你还要这样对我？拜托。”

Alex Kontorovich (01:19:13) 但现在，我是说，这真的触动了人心，对吧？关于拟 RH。所以也许你能，你能谈谈素数的重要性和美妙之处，以及从拟 RH 到完整 RH 的跨越有多大、有多难。是的，素数之所以如此宝贵，是因为它们是乘法理论中的基本粒子。每个整数都可以分解成素数的乘积。你知道，我们了解物理学中的基本粒子，所有物质都是由它们组成的。同样，素数就是构成整数乘法结构的粒子。而它们的分布一直是个谜，至今仍是个谜。即使是 Riemann 假设也无法解决我们想知道的关于素数的一切。

Alex Kontorovich (01:20:01) 但 Riemann 假设是如此美妙，因为它指明了分布应该是什么样的方向，而且它在非常遥远的领域有一千种应用。只要 Riemann 假设成立，我们就会知道 XYZ。

Ankur Moitra (01:20:15) 让我插进来讲一个上周发生的小故事，非常有意思。Grant Sanderson 来 IAS 访问，我们进行了一场长讨论，主题是 AI 对数学界究竟在做什么。我特别喜欢 Camillo De Lellis 说的一句话，我尽量模仿一下，但我学不来他的口音。

Ankur Moitra (01:20:35) 上世纪五十年代，有一位数学家写了一部剧。所以谁知道数学家也会写剧呢，但显然这部剧的前提是：冯·诺依曼去世了，他去了天堂。他见到了上帝，并且可以问上帝一个问题。于是他问：“黎曼猜想是真的吗？”当然，所有人都屏住呼吸等待答案。上帝说：“是的。”于是大家终于可以松一口气了。然后冯·诺依曼又问：“但你是怎么知道的？”上帝想了想说：“嗯，我知道所有零点在哪里，它们全都在实部等于二分之一的那条直线上。”据我所知，这部剧的前提是：这对冯·诺依曼来说还不够。

Ankur Moitra (01:21:18) 他变得有点激动，想弄清楚它为什么成立，而我觉得最后他去了另一个地方。

Alex Kontorovich (01:21:26) 太棒了。

Ankur Moitra (01:21:27) 所以我不知道该从中得出什么寓意，但它似乎道出了数学研究的体验。

Alex Kontorovich (01:21:33) 数学不是那个事实，而是那个“为什么”。它一直都是“为什么”。这是我们对理解最深层的追寻。如果你只是告诉我某个事实是真的，但我不明白它为什么是真的，那对我的知识毫无贡献。

Steven Brunton (01:21:46) 所以我认为素数也很有趣，因为它们与三岁小孩也能理解的事物相关。从根本上说，我们知道怎么给数字加一，而你知道，当你还是个孩子的时候，会有这样一个突破性的时刻：我可以永远加一。这是一个很大的观念。我可以一直不停地加一。然后你学会乘法和分组，这也是一个很大的观念。而素数对我来说很有趣，而且一直都很有趣，因为我们不明白加法和乘法是如何协同工作的。数学中最基本、最简单、最基础的两个观念，我们不知道它们如何协同工作。我可以给一个可以分解因数的数字加上一，而我完全不知道接下来会发生什么。

Steven Brunton (01:22:28) 我知道如果它是偶数，就会变成奇数，反之亦然，但我不知道一个有很多很多合数的数是否会变成素数。我们从根本上就不知道那个简单的、你知道的，加一，是如何改变乘法的。而素数基本上，你知道，就像是这个三岁小孩谜题的蒸馏，这是一个我们所有人都仍在与之搏斗的谜题。你知道，有趣的地方在于，如果这个证明能告诉我关于那个结构的一些根本性的东西，让我能够实际加以利用。

Alex Kontorovich (01:22:59) 是的。对于那个三岁小孩来说，我记得我的大孩子当时大概两三岁。他在玩——我们有一些小积木，你知道的，就是孩子们喜欢玩的那种方块。一包里大概有20个，所以他会摆出一个四乘五的方阵，他很喜欢，然后他会摆一个十乘二的方阵，那也挺酷的。然后有一天，我看过去，发现他非常沮丧。我问：“怎么了？”他说：“你知道的，摆不出来。”原来有一块滚到沙发底下去了。他只有19块。他想不出办法用这19块摆出一个好看的长方形。

Steven Brunton (01:23:32) 是的。这事到今天还困扰着我。

Alex Kontorovich (01:23:34) 所以……是的。所以绝对是这样，孩子们喜欢素数。孩子们能够——发现素数。这是非……

Ankur Moitra (01:23:39) 所以解决办法就是再丢一块，对吧？

Alex Kontorovich (01:23:42) 是的。嗯，完全正确。

Ankur Moitra (01:23:44) 你认为从准黎曼假设到黎曼假设（RH）的这一步跨越，我猜你认为在你有生之年，人类在没有AI帮助的情况下是无法解决完整的黎曼猜想的？

Alex Kontorovich (01:23:55) 我不知道。

Ankur Moitra (01:23:56) AI能做到吗，我想这是接下来的问题。比如，这有多难？

Alex Kontorovich (01:23:59) 我不知道。我不知道。我从没想过我会看到一个准黎曼假设的证明。现在我看到了这个证明是什么样的，还有很多技术细节我为了自己满意还需要去梳理。有一个Lean形式化验证。Lean的陈述已经在库里了，已经在Mathlib里了，所以他们有一个无sorry的证明这个事实让我百分之百确信这个证明是正确的。而且，在读了这个证明之后，你知道，从高层次来看，它使用的想法都是完全有效的。它们非常精妙。你知道，嵌入Möbius函数，用六次特征去扭曲它——这些都是解析数论学家的看家本领，只是以恰到好处的方式串联起来，绝对令人难以置信。

Alex Kontorovich (01:24:40) 黎曼所证明的是，还记得我们之前谈到的这个函数，它有复数输入和这些输出，我们关心的是输出何时为零。所以他证明了存在所谓的临界带，它是复平面上的一条垂直无限带，其实部是——你可以认为 X 坐标介于零和一之间，而虚部，也就是 Y 坐标，可以任意高或任意低。而猜想是，所有零点都恰好位于那条带的正中心，也就是实部为二分之一的地方。这正是 Ankur 刚才所说的。而在周二之前我们所知道的是，ζ 函数没有零点的区域，随着你越往上走，它变得越来越窄。

Alex Kontorovich (01:25:23) 它趋向于那条一的直线。那条一的直线就是所谓的素数定理，它告诉你素数的基本分布等价于这样一个事实：这个函数在实部 s 等于一的直线上没有零点。所以如果 X 坐标是一——当你沿着那条线上下走时，你永远不会找到一个值，使得应用 ζ 函数后它等于零。明白吗？所以我们有这个无零区域，随着你越往上走它变得越来越窄，而这给了我们关于素数的已知最佳分布，也就是素数定理中最佳的误差项，如果你愿意的话我可以详细讲——你告诉我你想聊多少数学。

Alex Kontorovich (01:26:00) 但我原本可以预料到的是，它会让那条线稍微变厚一点，你知道的，它仍然会趋向于零。随着你沿虚轴向上走，那个厚度仍然会趋向于零，但它会比我们目前所知的要好。那个厚度七十年来从未改变过，但我原本可以想象它也许能取得一些进展。它实际做到的是给了我们一条垂直带，也就是说在实部介于八分之七和一之间没有零点，是一整条无限的垂直带。这就是一个准黎曼猜想，而如果你能把那个八分之七降到二分之一，那就是完整的黎曼猜想。

Alex Kontorovich (01:26:34) 现在，在八分之七证明中所使用的方法，以及还有一个大约是十一分之二的第二个证明——先不管这些技术细节——那种方法从根本上说无法降到二分之一。

Lex Fridman (01:26:46) 所以需要一个新的想法。

Alex Kontorovich (01:26:47) 你需要一个新的想法，但准黎曼猜想需要许许多多的新想法，而它确实做到了。

Lex Fridman (01:26:53) 你——已经经历过三次了，你的直觉，这是问你们三位的，是关于在心中重新衡量各种问题的难度吗？因为你提到，比如挑简单的问题做。因为想必你有很好的难度雷达，比如，这个问题大概可以解决，而这个今天解决不了，这周能解决，这个月能解决，你知道的。你是在适应这个新世界，还是——

Ankur Moitra (01:27:21) 我是在调整我无法预测这件事的状态。

Lex Fridman (01:27:23) 对。没错。嗯，你以前是有这个能力的，不是吗？只是有噪声。

Ankur Moitra (01:27:29) 当然。只是噪声比我想象的大得多。我的意思是，我觉得我们一直都知道，我们关心的一些问题是在现有工具的能力范围之内的，但令人惊讶的是，究竟有多少不同的问题真的落入了这个类别，规模如此之大。所以我们对很多情况也不了解，你知道的，显然他们提示了数千个问题，而他们放出来的只是成功的解法，成功率大约只有百分之十。所以我们只能去猜测，你知道的，是否存在一条非常参差不齐的边界，我们可以眯起眼睛看看，说我们能从中看出点什么，来区分哪些问题被解决了，哪些没有被解决？

Ankur Moitra (01:28:13) 我觉得另一个危险可能是，最安全的问题恰恰是那些你一看就痛感明显、需要一个真正有创意的新想法的问题。你知道的，因为你能大致判断出可能存在一道障碍，而文献中现有的东西似乎都填不进那个洞。但现在我觉得，永远改变了数学领域格局的事情之一就是，你知道的，也许人们对这些想法会比过去更加保密。

Ankur Moitra (01:28:42) 你知道的，因为一旦这些想法公开了，那么你知道的，AI 要拼凑出那一个新想法、那个缺失的要素、它需要的那块新拼图，可能会容易得多，然后能够完整、穷尽地探索出它由此能推导出的一切。所以你可能会比过去更加保护自己的想法。我觉得这也有点可怕，因为传统上数学界在分享想法方面一直非常开放，而那将是一件失去后很糟糕的事。

Alex Kontorovich (01:29:12) 但那也是因为我们有这种“先到先得、捷足先登”的心态，我觉得这也会改变。

Alex Kontorovich (01:29:17) 我更希望开放性能保留下来，而“捷足先登”被淘汰。

Ankur Moitra (01:29:21) 没错，但那需要时间。

Alex Kontorovich (01:29:22) 那需要时间。

Ankur Moitra (01:29:23) 是的。所以这可能是一种影响，你知道，本质上更加短暂，如果我们能学会如何衡量其他东西的价值，那么这种影响也许会消失。其他一些社群已经有了衡量贡献价值的模式，即使不是把某一个人的贡献捧上神坛。所以并不是说没有办法前进，但是，你知道，这在短期内确实是按照我们过去的方式做数学并同样享受其中的一个真正障碍。

Navier-Stokes

Lex Fridman (01:29:49) 说到这个，Steve，你给我们讲过一个关于汤的故事，正是它让你爱上了流体力学这个更大的问题。所以从数学到应用数学再到工程学，一整套东西。那么也许你能谈谈 Navier-Stokes，这些解释流体的方程，为什么它如此重要，为什么它很美？就像我们谈到素数那样，为什么它如此困难，以及为什么 Navier-Stokes 被证明是如此重大的事件？

Steven Brunton (01:30:22) 从根本上说，Navier-Stokes 方程只是陈述流体动量守恒的一种方式，适用于可以相对自由运动的物体，比如气体和液体。我们知道 F 等于 MA 就是动量守恒，你知道，经典的牛顿物理学。同样的基本原理适用于这个房间里的空气、流动的水，而且在任何体积中都成立。所以在小体积、大体积、各种假想的体积中都成立。如果你在一个体积中写下这个动量守恒，然后取该体积变得任意小的极限，你就得到了这些 Navier-Stokes 方程。

Steven Brunton (01:31:04) 它是一个微分方程，一个偏微分方程，描述流体的速度场如何在空间和时间中变化，以及与作用在该流体上的力相关的压力。

Lex Fridman (01:31:18) 你能给我们一些直觉吗，为什么流体——既然 F 等于 MA 是一个相当简单的方程——流体却是如此复杂的系统？

Steven Brunton (01:31:28) F 等于 MA 写下来很简单，但它可能变得非常非常复杂。所以如果我有一个单摆，写下那个单摆的方程非常容易。如果我在它末端再放一个摆，现在我就有了一个更复杂的方程，而且它会产生混沌。流体呢，你知道，在某种意义上，如果我试图模拟这个房间里的空气，我可以把这个房间切成十亿个小方块，为所有这十亿个小方块中的动量运作写下一个小的微分方程，但现在我就有了一个非常复杂的方程组。

Steven Brunton (01:32:03) 所以写下它很简单，从概念上理解这个方程在说什么、表示什么也很简单，但真正求解它、真正从任何实际意义上理解流体究竟是如何运动的，却是非常非常复杂的。

Lex Fridman (01:32:18) 我读到过类似这样的说法，你知道，流体力学重要的一个领域是为飞行中的飞机减少阻力。我读到过类似这样的说法：航空公司通过将阻力降低百分之一，可以节省数百亿美元。那为什么这这么难？这是一个问题。而阻力也许比湍流之类的东西更容易。那为什么这些价值如此巨大的事情会如此困难？

Steven Brunton (01:32:47) 好消息是，如果你能提高我们预测湍流的能力，哪怕只是稍微更好地、更快地、更准确地模拟它，你就能在数十个领域产生巨大影响，无论是经济、生态、人类健康还是安全方面，只需相对较小的改进。比如减少飞机阻力、更好的人工心脏、更高效的风力涡轮机和燃气轮机，诸如此类。这个世界是——我们生活和工作在流体之中，我们所有的机器也是如此。逆向设计问题，我知道它实际上与这类数学问题密切相关。我知道我想证明什么，但我不知道如何到达那里。

Steven Brunton (01:33:33) 我知道我想要一个高升力、低阻力的机翼，但我不知道改变这个机翼的几何形状、改变它的形状会如何影响这一连串越来越小的涡旋，也就是在机翼上产生的湍流流体，而这些最终决定了它的升力和阻力。我不知道如何高效地进行逆向设计。部分原因是这些方程的模拟或测试成本很高。风洞很昂贵，你需要超级计算机来模拟这些东西。这实际上与纯数学有些关系。我想我们稍后会回到这个话题。

Steven Brunton (01:34:10) 但有一句非常精辟的费曼名言，就是我们知道如何写下这些非常普遍的方程——麦克斯韦方程组、纳维-斯托克斯方程、薛定谔方程——但我们目前无法从方程中知道哪些现象是可能的。如果你从未到访过地球，你有可能仅凭一个偏微分方程就预测出日落、潮汐以及所有这些现象吗？我们离那还差得远呢。而且有一些非常基础的数学问题，比如，我能——我能写下微分方程，但我无法告诉你它里面包含什么。

Steven Brunton (01:34:45) 我们仍然需要模拟，仍然需要测试，仍然需要完成这套非常复杂的工程流程，才能理解这些方程如何在机翼上产生阻力，或如何在人工心脏内部产生湍流。

Alex Kontorovich (01:34:59) 抱歉，我能就这一点问个问题吗？我一直想问……比如在 Einstein 的广义相对论中，他写下了这些方程。几年后，Schwarzschild 发现了一个爆破解，然后他们就说：“得了吧。这些方程到底出了什么问题才会出现爆破？你知道的，如果把足够多的物质塞进足够小的空间，光就无法逃脱。这个——我们没有任何关于这方面的物理经验。这肯定是方程里的一个错误。”直到我们发现了黑洞。

Alex Kontorovich (01:35:25) 结果后来发现，这个理论实际上完美地解释并预测了应该发生的事情。在 Navier-Stokes 爆破的情况下，我们是会发现关于水的新东西，还是说在某个尺度上你会遇到粒子，你会遇到不再遵循流体方程的原子结构？我们凭什么预测，一个连续过程在被推到极限时应该存在解呢？

Steven Brunton (01:35:56) 是的，这是个好问题。我来给你一个工程学上的回答，那就是这些方程在某个尺度上是对流体行为的极好模型。你说得完全对。你需要在一个体积内对一定数量的单个分子取平均，这些本构方程才有效。所以如果你放大到足够小，我们现在讨论的就是单个分子了，Navier-Stokes 就失效了。所以这些方程爆破的数学问题从数学角度来看是有趣的。等到它们爆破的时候，它已经不再是流体了。就像——

Alex Kontorovich (01:36:37) 没有黑洞。

Steven Brunton (01:36:38) 没有黑洞。其他的物理规律接管了。

Lex Fridman (01:36:41) 但这是有可能的——等等，我觉得从科学哲学的角度来看这很有趣，方程失效的地方可能——而且从统计上来说很可能是——一扇窗户、一扇门，通向需要其他发现的突破。就像牛顿物理学失效需要 Einstein 一样。

Alex Kontorovich (01:37:03) 对。而大统一就是——……我们没有在与亚原子粒子相互作用相同的尺度上研究引力。

Steven Brunton (01:37:12) 但是，我们对这些方程竟然如此基础的性质一无所知，这一点……现在地球上就有这么多的人，在各行各业中模拟和测试 Navier-Stokes 方程。我是说，它大概是整个工程界被研究、分析和使用最多的方程之一。而我们却不知道这个偏微分方程的基本性质：它会不会在有限时间内爆破？这就好比是更大问题的零阶版本，也就是，你知道，它还允许哪些类型的解？它，你知道——日落、飓风、龙卷风以及所有可能存在的现象学，都存在吗？你知道，存在性和唯一性就像是——最简单的初级台阶。

Steven Brunton (01:37:56) 而这也正是它让我觉得有趣的地方：即使这个数学结果在工程意义上没有直接的实际用途，它也让我们离理解这些方程的本质以及什么是可能的又近了一步，而这对我们来说是非常根本性的有趣之事。

Alex Kontorovich (01:38:14) 有没有可能——这个会发生爆破的解，能不能以某种方式用在工程应用中？你知道，你想要把它驱动到这种状态，得到某种奇特的行为，从而——帮助飞机以更小的阻力飞行之类的？

Steven Brunton (01:38:26) 是的，我是说，我认为原则上，一个庞大的产业，我们所做工作的一大部分就是操控流体流动，比如把它们弯曲成我们想要的样子，对吧？所以如果你观察鸟类或昆虫飞行，它们在塑造涡流，并小心翼翼地引导能量进入特定的结构，以实现它们日常生活中的目标，比如栖息在岩石上，或者捕猎。我们也试图做同样的事情。所以流动控制是最高的挑战之一。它非常非常具有挑战性。但如果我们拥有更好的控制这些流动的能力，我们所有的科幻技术都会在某种程度上得到加速。而这个证明就是以一种方式，对这种非常专门化的流动控制的一种非常有趣的构造。

Alex Kontorovich (01:39:16) 我想起在 70 年代，有人问过 Feynman 关于智能、人工智能的问题。他说过大意是这样的话："我们用技术解决问题的方式，与自然解决这些问题的方式有着根本的不同。看看鸟类，鸟类如何飞行，以及飞机如何飞行。"他指的正是这一点。现在回想那番评论，当我们看到 LLM 在定理证明方面能做什么，与人脑在定理证明以及各种其他应用方面能做什么相比，这有点意思。但是——他恰好指向了这个问题，即我们如何用技术解决了飞行问题，以及这与自然的解决方案有多么不同，这很有趣。我们的飞机不会扇动翅膀。

Steven Brunton (01:39:55) 现在我在想，当鸟类看到飞机飞行时，它们会不会有存在主义危机。

Steven Brunton (01:40:00) 我到底来这儿是为了什么？

Alex Kontorovich (01:40:01) 是啊，是啊，早起的鸟儿有虫吃嘛。Navier-Stokes 方程有哪些不同的组成部分？你能——如果你——你能深入讲讲吗？比如，描述流体需要什么？

Steven Brunton (01:40:16) 好的。非常非常基础地说，流体会运动，而且在不同的地方、不同的时刻运动方式各不相同。所以流体最基本的构件是速度场。也就是说，在空间中的每一个点上，都有一个速度向量，告诉你那里的流体是怎么运动的。你知道，也许这里流得很快，那里流得很慢，于是就形成了涡旋。而当流体速度在空间中变化很大时，事情就更有意思了。比如龙卷风就是一个在空间和时间上都快速变化的流体速度场。其中还涉及压力。同样地，龙卷风的核心是低压。所以压力在某种程度上驱动着这个速度场，使它以那样的方式运动。

Steven Brunton (01:41:14) 这就是基本构件：一个速度场以及它的压力。然后方程告诉你，这个速度如何根据流体自身的动量随时间和空间变化。流体有动量来推动自身前进，这就是我们说的阵风。它还有内部摩擦和阻力，那就是粘性。蜂蜜的内阻比水大，水的内阻又比空气大。接着还有所有的外力，比如加热、压力、重力之类的。所有这些都可以被量化为这个更大的 Navier-Stokes 方程中的一项。

Alex Kontorovich (01:41:52) 说到外力，你能讲讲这背后的数学吗？就是关于 Navier-Stokes 爆炸解的问题？这个问题的表述是什么，究竟证明了什么，以及为什么它如此困难？

Steven Brunton (01:42:05) 如果没有那种内部摩擦，也就是粘性，我们强烈怀疑这些方程在某些条件下能够并且将会发生爆炸。我们有其他类似的例子，一些更简单的、类似于 Navier-Stokes 的问题确实会爆炸。最简单的一个就是一个简单的常微分方程，请允许我稍微跑一下题。

Steven Brunton (01:42:29) 那么 X 的导数等于 X 的平方。X 是我系统中的状态量。X 的导数只是表示 X 随时间的变化率。如果 X 的变化率与 X 的平方成正比地增长，那么这个微分方程确实会在有限时间内爆破。所以只需要一个二次非线性就够了。想想看，如果我有 X 的导数等于 X。这就像 X 可以是兔子的数量，我们知道兔子喜欢繁殖。X 的导数等于 X 是指数增长。我的兔子种群数量随时间会指数增长。它会变得越来越大。会不断翻倍。但要到无穷时间过去之后才会达到无穷大。这只是普通的指数增长。那不是有限时间爆破。那是 X 的导数等于 X。

Steven Brunton (01:43:18) 但如果我取 X 的导数等于 X 的平方，那就会在有限时间内爆破。所以那个二次非线性，那种二次反馈就足以导致这个方程爆破。而且你可以，比如——如果你把它写下来，你可以用经典的微积分基本技巧来求解，你就会得到这个有限时间爆破。所以有一系列偏微分方程具有相同的行为，其中二次非线性——而真正有趣的是，在 Navier-Stokes 方程中，其中一个项，即对流项，它描述流体如何凭借自身的动量来运动自己，就是一个二次非线性，就像 X 的导数等于 X 的平方一样。它有点像这种自我运动。

Steven Brunton (01:44:00) 没有扩散，没有粘性，我们认为它应该会在有限时间内爆破到无穷大，出现这种有限时间爆破。但我们不知道粘性，那种内部摩擦和阻力，就像蜂蜜那样的，是否总能在爆破发生之前将其抑制住。我作为工程师的直觉当然是它们会的。比如，如果我有一个流场在加速到无穷大，它应该立即扩散到邻居中去。它应该向周围的流体扩散，从而抑制住那种增长。

Steven Brunton (01:44:41) 所以我认为这个数学问题本质上是：是否存在任何极端情况，任何流体的初始构型，使得你能够完美地安排这一切，让它真的能在有限时间内加速到无穷大？然后有两个技术版本。一个是无外部强迫的，另一个是有光滑外部强迫的。光滑很重要，因为如果外部强迫有奇点，那就有点平凡了。比如如果我用龙卷风来强迫它，一个无限紧的龙卷风，那它当然会爆破。

Lex Fridman (01:45:14) 所陈述的问题是有光滑外部强迫的。

Steven Brunton (01:45:19) 有四个版本的——

Steven Brunton (01:45:20) ……在 Clay 的网站上。其中之一就是强制版本。

Lex Fridman (01:45:24) 而那就是被证明的那个。

Steven Brunton (01:45:26) 而那就是被证明的那个。

Lex Fridman (01:45:27) 究竟证明了什么？关于这个证明，你看到了哪些有趣的地方？

Steven Brunton (01:45:33) 是的。被证明的是，存在这样一种方式来编排一种平滑的外部强制力，它能完美地抵消方程中的各项，从而得到这种涡旋。这只能在三维中发生。这一点非常重要，那就是——

Lex Fridman (01:45:52) 我们可能应该说明一下，我们一直在讨论的是三维。三维和二维之间有很大的区别。

Steven Brunton (01:45:57) 是的。我的意思是，当我们谈论流体时，我们通常想象它是三维的，但也存在这类类比或者简化的二维流动。地球上的天气可以很好地近似为二维流动。

Lex Fridman (01:46:09) 是的，你在某个讲座中提到过，我听过，飓风在二维中能被很好地建模，而龙卷风是三维的，我记得你在那里做了一些不同的类比。

Steven Brunton (01:46:24) 是的。三维湍流中有趣的现象之一是，大涡旋通常会破碎成更小的涡旋，再破碎成极小的涡旋，直到最终它们在分子尺度上扩散成热量。这就是三维湍流级串。而在二维中，比如地球上的天气，你实际上会得到反向级串，这就是飓风形成的原因。你实际上是小涡旋合并成中等涡旋，中等涡旋再合并成更大的涡旋。但是 AI 对这类反例的证明——即有限时间爆破是可能的——基本上构造出了一个非常非常特殊的涡旋，它在第三维中被拉伸并变细，以至于它本质上可以变得无限细。

Steven Brunton (01:47:16) 随着它被拉伸，半径变得越来越小，就像花样滑冰运动员做旋转时那样。你把手臂收回来，就会转得快得多。而这个涡旋有一种非常特殊的收缩速率，使得流体中的能量仍然保持有限，但在这一局部的丝状结构处，流动会发生爆破，你得到无限的涡量。在 AI 证明之前，当数学家们开始认为有可能找到这个反例时，我很惊讶。

Lex Fridman (01:47:47) 而这可能只是大约 15 年前才开始的。

Steven Brunton (01:47:49) 是的，从宏观来看，这算是相当近期的……没错。

Lex Fridman (01:47:52) 不是去寻找一个解，而是去寻找一个反例，是的。

Steven Brunton (01:47:55) 没错。因为我们所有的物理直觉都告诉我们扩散确实能解决这个问题，所以这在物理上是非常反直觉的。

Lex Fridman (01:48:03) 在数学界，这是一个非常难的问题。构造出一个反例令人印象深刻。对于你这样一位观察和研究过许多不同流体自然系统的工程师来说，它教会了你什么？也许可以以此为切入点，谈谈流体领域中还有哪些类似难度甚至更难的问题尚待解决。

Steven Brunton (01:48:31) 所以这是一个非常重要的数学成果。

Steven Brunton (01:48:34) 我会说，就像——

Steven Brunton (01:48:36) ……日常的工程流体和应用数学层面的流体分析几乎完全没有改变。流体在今天依然和一个月前或两个月前一样难以模拟和预测。所以当我试图真正用流体解决一个工程问题时——比如我要设计一个飞机机翼、一颗人工心脏，或者别的什么东西——我仍然必须以非常实际的方式来模拟、预测和操控这种流动，而这在超级计算机机时和风洞资源方面代价高昂。这个数学定理和证明非常有趣，但它所处的范畴太脱离物理实际了，以至于并不会真正影响我的日常工作。

Steven Brunton (01:49:25) 仍然存在——我不知道，这话有点俏皮，但我喜欢这么说：我们解决了那个百万美元的数学难题。还有一个万亿美元的工程难题，那就是，你如何以快速、高效的方式预测这些东西，并完成这种逆向设计？那是一个难得多的问题。

Lex Fridman (01:49:40) 你说它是万亿美元，是因为——

Lex Fridman (01:49:43) ……如果你解决了其中一些问题，你就能赚到那么多钱，不是因为有奖金，而是因为背后有庞大的产业。

Steven Brunton (01:49:49) 是的。我们可以说，这将为人类带来数万亿美元的潜在收益，比如更好、更快的解决方案，更低的阻力，更少的排放，诸如此类的一切。交通、国防、健康、能源，所有这些领域的核心技术都是流体。所以我认为这些问题仍然非常困难。而这个数学成果之所以重要，正如我之前所说，是因为我们不知道这些方程中什么是可能的，其根本性质是什么。我们甚至不知道解是否存在。这是如此基础的问题。这就像朝着一个更宏大的人类目标迈出的一小步，即以更实际的方式理解一个方程里究竟蕴含着什么。

Lex Fridman (01:50:38) 你能谈谈流体领域中一些也许美丽而迷人的现象吗？你一直在思考这些。你提到了湍流。在这个领域中，有哪些需要解决和理解的重大难题？你提到了阻力，比如空气、流体。人们在思考的那些千禧年大奖难题级别的问题是什么？

Steven Brunton (01:51:03) 我的意思是，有太多了。你可以把它们分成几类。湍流之所以非常难，是因为它是多尺度的。

Lex Fridman (01:51:09) 什么是湍流？

Steven Brunton (01:51:11) 湍流是一种现象，当复杂的流体翻滚、混合、运动时，有点像达芬奇的——他画了一些美丽的流体图画，展现了所有这些不同的尺度。所有尺度都很重要。大涡、中涡和小涡，实际上所有这些都对预测升力、阻力等等至关重要。所以这个房间里的气体就是一个很好的反例。它是湍流的反面。它很复杂，分子都以非常剧烈的方式运动着，而且数量庞大。但是，你知道，十的二十三次方个气体粒子，所有这些单独的构型并不重要。

Steven Brunton (01:51:59) 我们从热力学中知道，这是经典物理学的巨大成功，即只有少数几个数字真正决定了这个气体的行为，比如温度、压力、密度。这种简单的描述对于湍流流体、机翼上方的流动、心脏内部的流动、河流中的流动——都不存在。所有尺度实际上都很重要。模拟中的所有数字实际上都对预测下一步的行为、预测将要发生的事情至关重要。这使得它从根本上具有挑战性。所以这实际上是一个很棒的 AI 问题：是否存在一个坐标系？是否存在一组数字，就像我们对气体拥有的温度、压力、密度那样？

Steven Brunton (01:52:43) 是否存在一组数字，或者流体、湍流的某种表示方式，能够以一种对工程有用的方式来简洁地描述它，比如用来制造马达和发动机，就像我们对气体动力学所做的那样？

Lex Fridman (01:52:57) 那么有趣的问题来了，如果这对 AI 来说是个问题——而 AI 肯定在听——那个问题的解决方案，会是通过数学，还是通过让 AI 系统坐在那里观察一段时间的流体？

Steven Brunton (01:53:14) 我觉得两者都是。

Lex Fridman (01:53:15) 因为鱼，它们已经解决了这个问题。

Steven Brunton (01:53:18) 它们确实解决了。嗯，所以我觉得你抓住了关键词，就是坐标。我——所以这就是为什么我说两者都是。我不是想说些老生常谈的话，但我们所有伟大的物理学突破之前都伴随着一次坐标变换。牛顿的 F=ma 是在我们把太阳而不是地球放在宇宙中心之后才出现的，对吧？你必须先做那次坐标变换。所以我认为——在我看来，我们需要获取所有这些数据、这些模拟、这些对流体的观测，而我们寻找的是一个简单的坐标系，使得对那个流体的描述变得非常简洁、可泛化，在物理意义上很优美。

Steven Brunton (01:54:05) 这既是一种蛮力方法——你知道，获取大量数据，尝试各种不同的坐标变换和表示方式，直到找到最简洁、泛化能力最好的那一个。但同时，关于这种坐标变换可能采取的形式，也蕴含着大量深刻的数学。一般来说，如果你发现一个非常聪明的人在七八十年代就提出过的问题，但他们当时在计算上碰了壁，那现在就是一片非常肥沃的土壤。比如，我们知道这些坐标系的形式大概应该是什么样的，基于某些基本原理。只是我们从来没能把它们写下来。它们太复杂了，写不下来。

Steven Brunton (01:54:47) 这对 AI 来说简直是个完美的问题，就是，现在让我们给它多得多的数据、多得多的算力，看看我们能否开始学习这些我们知道应该存在的变换。

Lex Fridman (01:54:58) 为了确认我理解正确，涡旋的形成，那就像，像小小的龙卷风。

Steven Brunton (01:55:04) 小小的龙卷风。

Lex Fridman (01:55:05) 它们的形成——那一部分很难理解吗？

Steven Brunton (01:55:10) 是的，当然。而且这也很美妙。我喜欢看这类视频，比如，如果你让两个涡旋相撞，它们会相互影响，然后以非常有趣的方式合并，比如一个红色涡旋和一个蓝色涡旋，你可以看到它们在哪里合并、连接。但它们也会拉伸和折叠，而湍流是混沌的，所以轨迹会像意大利面一样缠绕在一起。它不是随机的。其中有大量的结构，但它是非常多尺度的、非常非常缠绕的。

自然如何计算

Ankur Moitra (01:55:45) 那么我在科学上一直想知道的一件事是，这些确实是很有意思的问题，而且刚才的解释非常精彩。我一直很好奇自然界已经能够解决什么样的计算问题，对吧？这方面有很多例子。有一个著名的例子是黏菌在迷宫中寻找最短路径。事实上，Navier-Stokes 方程的一些先驱工作，比如 Terry Tao 证明 Navier-Stokes 类方程可能出现爆破的工作，就是因为它们可以模拟图灵机。所以我想我也会想知道，这种涡旋碰撞的计算能够完成什么样的计算任务，以及这对什么样的坐标系应当存在施加了怎样的限制。

Ankur Moitra (01:56:33) 因为，你知道，你提到了 PV = nRT。那是一个惊人的降维——

Ankur Moitra (01:56:39) ……因为你不需要追踪所有粒子的位置和速度，而只需一小串数字就能描述一个元状态，仅此而已。但如果在湍流的情况下真的能有如此巨大的降维，那在我看来要计算出非常有意思的东西也会非常困难。

Steven Brunton (01:57:02) 它会不会像生命游戏那样，你有一个非常简单的元胞自动机系统，但它是一台通用图灵机，你可以在其中构造出任何你想要的行为？

Ankur Moitra (01:57:12) 是的，没错。我的意思是，关于生命游戏，人们很多时候在思考，要产生所有这些奇异行为所需的最小规则是什么，而规则竟然可以这么小就能做到这一点，真的非常令人震惊，对吧？但我想，我是一名理论计算机科学家，我们这个领域最大的产出之一，就是算法视角。

Ankur Moitra (01:57:31) 所以这不仅仅关乎计算——不是那种你有一个定义明确的问题、一台笔记本电脑、然后你想把它解出来的问题，它也关乎自然世界中的计算，以及这能让我们对自然界的规律有怎样的认识。这方面一些著名的例子包括多人博弈中的均衡，纳什均衡是一个很棒的解概念。但当然，计算纳什均衡很难这一事实让人怀疑：它真的是一个能解释人们如何进行博弈的普适机制吗？

Ankur Moitra (01:58:06) Kamal Jain 有一句我非常喜欢的精彩名言：“如果我的笔记本电脑找不到它，那么市场也找不到。”对我来说，真正令人兴奋的是所有这些不同视角的交汇点。当你在描述它的时候，我听起来觉得底层有非常有趣的计算问题，而且人们可以通过思考这种计算如何对一个好的坐标系应该是什么样子施加限制，从而获得一个对偶视角。

Steven Brunton (01:58:36) 我认为这是一个非常好的问题框架。我会举两个极端的例子。地球的天气和气候系统实际上是纯粹复杂的。所有尺度都很重要。这个邮政编码区域的天气对我很重要。一切都重要，所有变量都重要。你说得对，如果我把那个系统过度简化成五个数字，我就失去了对我真正关心的事物的描述能力。这是一个极端。另一个极端，让我们想想飞蛾、蝴蝶或果蝇是如何飞行的。它们以存在性证明的方式表明，你可以与极其复杂的湍流相互作用，并进行非常先进的工程控制。

Steven Brunton (01:59:30) 它们能在阵风和雨中控制自己的力和力矩。它们可以过非常丰富的生活，而它们大概既没有流体力学博士学位，也不懂纳维-斯托克斯方程。它们可能也没有在运行超级计算机模拟。可能只有五六个数字对它们的日常生活真正重要——维持前缘涡，以及让翅膀失速来栖息和降落。这两个是极端的例子，而我真的希望能够同时处理这两种情况。我们希望能够处理真正复杂系统的全部复杂性，我们也希望能够提炼出最最基本的要素，以便在昆虫这类极端情况下做出快速决策。

Steven Brunton (02:00:19) 而且生物飞行器在许多领域仍然远远优于人类设计的流体系统，所以我们仍然可以从这些简单系统中学到很多东西。

Ankur Moitra (02:00:33) 所以也许我们现在算是转向研究话题了，不过，你知道——对我来说，大自然不仅解决了非常困难的优化问题，而且似乎总能找到非常稳健的解法，这一直令我惊叹。而且我总是被这样一个事实所触动：当我们对它建模时，我们往往假设自己对 Navier-Stokes 这类问题的边界条件和初始条件拥有完全的知识。但当一只鸟飞行时，它并不知道所有这些。在某种程度上，用不确定性来建模，实际上正是你重新构建优化问题的方式，从而得到非常丰富、非常稳健的解法。让我觉得相当神奇的是，许多日常例子似乎都符合这一思路。

Ankur Moitra (02:01:14) 我记得，我是个超级棒球迷，我记得读过一篇关于棒球的数学论文，论文说当有一个外野手时，球被击出后，很多信息是已知的——速度、轨迹。你会以为外野手会沿直线跑向他们预判球会落下的位置。但当你观察外野手时，他们并不走直线，而是走一条略微弯曲的路径。为什么会这样呢？至少有一种理解方式是，这其实是一种非常稳健的策略，因为当你走一条曲线路径时，你可以不断地重新评估——

Ankur Moitra (02:01:48) ……球的轨迹，然后据此做出调整。所以大自然找到了非常有趣的解法，但优化问题本身究竟该如何正确地表述，往往并不显而易见；有时在存在不确定性的情况下进行建模，从而设计出能够应对你并不掌握系统全部知识这一事实的稳健解法，似乎是整个图景中的重要一环。

Steven Brunton (02:02:14) 关于这一点有个有趣的旁支话题。昆虫尤其没有能力测量它们完整的流场。它们对阵风的反应速度，比信息从翅膀传到大脑、再传回肌肉的速度还要快。几十年来，生物学研究者一直在研究这一现象。他们的发现是，翅膀上嵌有对应变敏感的神经元，可能有几十到几百个，位于非常固定的位置。同一种果蝇的这些应变敏感神经元会出现在相同的位置，而当翅膀以某种特定的时间模式弯曲时，这些神经元就会放电。

Steven Brunton (02:03:02) 所以它被一阵风吹到，翅膀弯曲，神经元放电，这只昆虫肩部肌肉中正在进行一次局部计算，直接反馈回来，基于对一个它没有方程描述的、非线性且湍流的系统的部分信息，做出稳健的修正。所以这又是，通过存在性证明——正是你所说的，也许最稳健的策略就是真正依赖部分信息和不确定性。它们目前能用比我们少得多的信息做到比我们更多的事。

Ankur Moitra (02:03:34) 是的。我有几个，抱歉，抽嗨了的想法，因为 Alex 提到了黑洞。我有个有趣的想法，也许在 Navier-Stokes 方程中观察到的爆破奇点会发挥作用，当我们，而不是在地球上的飞机机翼，而是乘着曲速引擎穿越两个相连的黑洞时，我们弄明白了这一点，然后就有了时空的流动控制，这就变得相关了，因为现在你身处黑洞之中，因此有了奇点。这就是——对于只是听这个节目的人来说，Alex 刚才看我的那个眼神，刺痛了我的灵魂。好吧。那么进入下一个话题。

Alex Kontorovich (02:04:13) 但是那个强迫力，你需要黑洞涡旋也在完全恰当的位置受到强迫——

Ankur Moitra (02:04:18) 那个，是的，力。力在哪里？我是说，在那个时候——

Alex Kontorovich (02:04:20) 你怎么……是的。你可以试着骑上去。是的。有办法——你可以从中搞出点名堂来。

Ankur Moitra (02:04:24) 未来某个会听这个节目的家伙，有非零的概率，那家伙唯一一次说对了话就是这次。好吧。如果可以的话，我们去上个洗手间休息一下。

Alex Kontorovich (02:04:37) 好的。听起来不错。

唯一游戏猜想与复杂性理论

Ankur Moitra (02:04:38) 酷。Ankur，我最喜欢的话题之一是理论计算机科学。你是世界上许多相关问题的专家之一。所以我想问问你关于这次 OpenAI 发布中解决的一个大问题，也就是唯一游戏猜想（Unique Games Conjecture）。你能给大家讲讲这个问题是什么、为什么它很重要，以及证明中有哪些有趣的方面吗？好的，我很乐意。那么让我先给你一点背景知识。我们从复杂性理论入门开始讲起。理论计算机科学中最重要的问题之一是可满足性问题（satisfiability problem）。所以你要记住的是，想象你有变量 X1 到 XN，它们可以取真或假的值。

Ankur Moitra (02:05:26) 我要做的就是用它们构造一个大公式，通常我们用「或的与」来做到这一点。所以我先从一个子句开始，也就是一个或，X1 或 非X3 或 X7。所以根据我的赋值，只要其中至少有一个为真，这个子句就会被满足。然后我把许多这样的不同子句取与。问题是，如果我给你这个公式，它被称为合取范式公式，你能找到一个满足赋值吗？也就是说，你能找到 X1、X2 一直到 XN 的赋值，把它们设为真或假，使得所有这些或子句都成立，从而使整个公式求值为真吗？

Ankur Moitra (02:06:16) 所以这是一个典型的例子，说明某个问题很容易验证别人的答案，但自己找到答案可能很难。所以如果你告诉我它是可满足的，我只会问你：「好吧，给我满足赋值。」你告诉我 X1 被设为什么，X2 被设为什么，然后我逐个子句检查，确保你确实满足了所有条件。现在，理论计算机科学的核心问题是 P 对 NP 问题。也就是说，对于容易验证的问题，找到它们的解是否也容易？我们这个领域的假设是不，这并不容易，而这正是密码学、电子商务等许多事物的基础。

Ankur Moitra (02:07:06) 那么，真正通向唯一博弈猜想这类成果的起点，是一个叫做 PCP 定理的东西。这是九十年代证明的一个里程碑式结果。它实际上非常重要，甚至登上了《纽约时报》的头版。它的核心正是这样一个想法：要欺骗一个验证器，即使在稳健意义上也是困难的。你从一个公式开始，它要么可满足，要么不可满足，对吧？这是什么意思？如果它是可满足的，你可以写下一份赋值，我可以逐一检查整个公式是否求值为真。但如果它不可满足，那意味着你在某个地方撒了谎。

Ankur Moitra (02:07:43) 你写下这份所谓的满足赋值，当我逐个子句检查时，我会很快找到一个不成立的子句，这会使整个赋值失效。然后我说：「啊哈，我抓住你了。这实际上不是满足赋值。」所以，像概率可检查证明这类东西背后的思想，不涉及太多技术定义，其核心思想就是间隙放大。也就是说，你能否从一个难以判定其是否可满足的公式出发？你能否构造出一个新的、可能大得多的公式，使其在稳健意义上容易检查，也就是说，如果它可满足，它仍然可满足。你可以写下一份赋值，一切都会没问题。

Ankur Moitra (02:08:29) 但如果不是这样，我实际上应该能够只需抛几枚硬币、查询随机变量、检查一个随机子句，就有很大概率发现你在撒谎。所以关键在于，通过非常次线性的检查，只需常数量的检查，我就能发现你在作弊。因此这是理论计算机科学中一个具有里程碑意义的结果，因为它真正为所谓的近似难度奠定了基础。算法与复杂性理论中有很大一部分内容是：当你面对确实难以求解的问题时该怎么办？而我们所做的其中一件事，就是尝试近似地求解它们。也许我们无法找到一个满足所有子句的赋值（如果存在这样的赋值的话），但我们能否找到一个满足许多子句的赋值呢？

Ankur Moitra (02:09:19) 能满足多大比例的子句呢？即使在那里，我们也会预期问题在某个临界点之后会变得计算上困难。应该说，不仅仅是判定它是完全可满足还是不完全可满足是困难的，甚至判定它是 100% 可满足还是只能达到 99% 可满足——在所有赋值中最好的情况也最多只能满足 99% 的子句——这本身可能也很难判定。这就是概率可检验证明（probabilistically checkable proofs）带给我们的结果。在我们已知优化问题本身很难的地方，它们告诉我们连近似也是困难的。而唯一博弈猜想（Unique Games Conjecture）是普通 PCP 定理的一个强化版本，因为它涉及某一类标签覆盖（label cover）实例。

Ankur Moitra (02:10:10) 深入细节有点技术性，但关键在于，如果那个版本的概率可检验证明成立，它将产生巨大的组织作用：对于一大类问题，我们实际上就能知道什么是最好的近似算法，而且它会是非常简单的。当我刚进入这个领域时，唯一博弈猜想在那之前几年才被提出，人们对于它应该是真还是假仍有大量争论。人们努力尝试给出它的证明，也努力尝试证伪它。

Ankur Moitra (02:10:50) 大约在 2010 年代有过一段令人惊叹的时期，双方来回争论相当激烈，不断有新结果出来，人们对于是否相信唯一博弈猜想的看法也随之改变。我喜欢这句话。我忘了是谁说的，所以无法恰当注明出处，但有人告诉我："也许上帝会根据哪一方更努力来决定它是真是假。"因为它真的似乎逐年都在变化。而 OpenAI 发布的证明中，其中一个头条结果就是唯一博弈猜想为真。不过我应该提到，这并非没有人类在这一问题上取得的辉煌进展。

Ankur Moitra (02:11:32) 我在 MIT 的一位同事、在 IAS 的一位同事，他们和其他一些人一起，为许多重大突破做出了贡献。Dor Minzer 和 Irit Dinur 证明了一个较弱的版本，称为双射博弈定理（Two-to-One Games Theorem），这在理论计算机科学界真的是一声震惊世界的枪响，因为在那时，很多人并不确定 Unique Games 猜想的前进之路在哪里，而我认为他们的工作确实为接近 unique games 的方向提供了一条可行的路径。所以听起来，也许人类再花 10 年、20 年就能达到目标。但是，就在 OpenAI 发布结果的时候，事实证明 Unique Games 猜想其实是真的。

Ankur Moitra (02:12:19) 这非常了不起，因为你知道，在某些时候，我想我确实站在了怀疑者的一边，因为 Unique Games 听起来太美好以至于不像是真的，因为很多工作，比如 Prasad Raghavendra 的工作，它意味着对那么多不同类型的约束满足问题都有最优的近似难度，这个结论在我看来强得不像是真的。

Lex Fridman (02:12:46) 那天晚上你得知这个消息时是什么感受？

Ankur Moitra (02:12:49) 好吧，首先，在那之前的几周里已经有传言说 OpenAI 解决了 Unique Games 猜想，而且它是真的。这些甚至不是完全空穴来风的传言。我的一位同事 Dor Minzer 实际上发布了一篇论文，他在底部的脚注里写道：“我们本想把这篇论文打磨得更好，但由于传言四起，我们觉得有必要尽早公布我们的方法。”所以对我来说，某种程度上结果终于公布出来了，这让我松了一口气。不过这些论文不太好读。你没法指着它们很快就能看出什么是新的关键思想。

Ankur Moitra (02:13:35) 但我很高兴它们已经公布了，因为现在我们可以进入下一阶段，也就是消化这些证明，并弄清楚这个领域接下来该往哪里走。至于那天晚上的感受，正如 Alex 提到的，我们人手一杯酒。然后我在手机上看到这些证明已经发布的消息。人们不断走过来在晚宴上和我交谈，但作为一个数学家本来就已经很难社交了……更别说当你手头有数学内容真的想读的时候。

Ankur Moitra (02:14:08) 所以这难上加难。另一件有意思的事情是，我当时已经在纽约了，所以我就借着晚宴开始前的机会，去拜访了很多我在 NYU 认识的人。而我正好要见 Subhash Khot，就是提出唯一性博弈猜想（Unique Games Conjecture）的那个人。我就在晚宴前几个小时、OpenAI 论文发布前，刚好问他：“Subhash，如果他们发布了唯一性博弈的一个正面证明，你会怎么做？你会去读吗？”他告诉我：“不会。”你知道，不幸的是，这也是很多人的反应。事实就是，我们研究的这些宏大挑战，有时候当它们被解决时，你会觉得，好像有人抢了你的风头。

Ankur Moitra (02:14:59) 并不是说人们没有关于如何解决唯一性博弈猜想的想法，我敢打赌，如果我们给他们更多时间，那些方案是会成功的。我担心的另一件事是，我们会失去人们为达成这些解决方案所付出的人力心血。数学不只是关于“用我现有的工具集我能走多远”。它是一个凸包吗？是一个子群吗？我不知道。但有时候，当解决方案是由人驱动的，我们在过程中学到的东西要多得多。

Ankur Moitra (02:15:35) 所以我担心的是，曾经有这些伟大的里程碑式问题、定义整个领域的问题，很多人都在朝着它们努力，而决定性的进展出现了，所有结果在一夜之间全部发布，人们就失去了沿着那些路径继续探索的热情。我在想，如果我们给那些人留出空间去走那些路，我们还会发现什么其他激动人心的东西。所以我想提到的一点是，当时我们都在 MoMath 试图消化这些消息，那里有很多非常精彩的报告。并非所有报告都上传到了 YouTube。其中一些是关于以捐赠者和奖项命名的内容。

Ankur Moitra (02:16:11) 而我不断回想到的，是这样一个理念：你最初为什么要做数学，是为了探索和认识这个世界。而那天晚上，我们看到了它的太多体现。

Ankur Moitra (02:16:23) 你知道，因为有些奖项是以人名命名的，而这些人，你知道，他们之所以向博物馆捐赠，是因为他们希望自己的孩子有一个可以玩数学概念、了解世界的地方。那也是 Escher 展览的开幕，多么棒的视觉呈现啊，展示了当我们玩味数学概念时会发生什么，对吧？所以我觉得，在这一刻，当我们一起经历这一切变化，当我们不知道未来会怎样，不知道 AI 与数学家的合作未来会是什么样子，不知道招聘会变成什么样子的时候，真正重要的是要记住，我们当初投身这一行，是因为我们都非常好奇。

Ankur Moitra (02:17:06) 你知道，我们想要理解这个世界，而数学家非常擅长抽象化。你知道，他们不只是理解一个小片段，而是找到某种抽象和某套定义，结果发现它在数学的另一个角落出奇地强大。所以我认为，无论未来如何，真正重要的是确保我们以一种仍然鼓励人们玩味想法的方式来组织我们的领域。我不知道什么样的奖励机制会奏效，但是，你知道，当我环顾四周、与这个领域的年轻人交谈时，他们有很多焦虑。

Ankur Moitra (02:17:41) 你知道，他们听到很多故事，甚至关于他们认识的人，你知道，运行自动化程序去，你知道，抓取网页寻找开放问题，倾倒尽可能多的论文去灌满 arXiv。我不知道这是不是个好策略。看起来不像，但这对我来说肯定感觉不到乐趣。这感觉不像是我们在玩味想法、了解世界，这很让人难过。我只想回到我真正享受的事情上。

Ankur Moitra (02:18:12) 也许我还想补充的另一件事是，就像，你知道，这对很多人来说是一场巨大的身份危机，因为，你知道，有些人更多地把自己看作问题解决者，这可以让人感到非常安心，你可以在你研究的问题类型、你使用的技术类型、你关心的问题类型周围画一个小圈。这让人感到非常安心，因为外面的世界很混乱，而你戴上了眼罩。这就是我关心的部分。现在，我认为，是时候摘掉那些眼罩了，因为我真的不觉得那是一种富有成效的方式。

Ankur Moitra (02:18:46) 你知道，我们热爱玩味并了解我们周围的世界，而重要的是要记住，作为一个年轻的数学家，你是更聪明还是更好奇，还是你更好奇而不是更聪明？比其他任何事情都更重要的是要更好奇。

Lex Fridman (02:19:01) 你提到了乐趣。也许可以从另一个角度来看，从我这个局外人的角度来看，最有趣的时刻往往感觉像是在挣扎。我和很多奥运金牌得主聊过，他们中很多人在夺得金牌后会感到某种接近抑郁的情绪，因为这就像你已经付出了一切，而你意识到你所付出的一切现在都结束了。

数学家如何思考

Ankur Moitra (02:19:32) 三十年前，有一部关于安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的纪录片，里面有一个很棒的场景，我觉得他们甚至把它放在了最开头，正好呼应你刚才说的金牌得主——当你赢得了那个东西之后，你该怎么办？他坐在书桌前，描述他意识到解法所在的那一刻，不是他最初那个有缺陷的宣布，之后好几个月他都在试图修正它，最后他终于看到了如何做到。他想说的是：“我这辈子再也不会有一个像那天在这张书桌前经历的那一刻那样强大的时刻了。”然后他说着说着就哽咽了。

Alex Kontorovich (02:20:12) 话都说不出来。那么——如果你按下按钮它就直接给你答案，你能体会到那种感受吗？完全不能。所以完全印证了你们两位的观点，就像这段旅程，如果你看到一座巨大的山丘、一座大山，你说“总有一天我要爬到顶上”，然后你开始为此训练，一点一点地做各种准备，接着一架直升机降落，直接把你扔到山顶。你真的能体会到那种感觉吗？关于安德鲁·怀尔斯，还有格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）的一点有趣之处在于，他们都是长时间独自工作。你怎么看这一点？在数学领域，坐在那里死磕一个问题——就怀尔斯而言是七年——这种情况有多常见？

Alex Kontorovich (02:20:59) 直到20世纪，几乎每一篇写出来的数学论文都是单人撰写的。我认为现在数学领域的中位数是两位作者，所以我们不是一门实验室科学。它确实是一个孤独的过程。现在，我给研究生布置的任务，从设计上来说，并不是我自己正在研究的东西。

Alex Kontorovich (02:21:20) 我希望他们拥有属于自己的领域。我想为他们打开大门。不同领域的情况各不相同，对吧？所以当他们取得成功时，那真正应该是他们自己的成功，即使我某种程度上——我早就有预感这会有所发展，而他们把它执行了出来，那也是他们的成果。但就长期投入而言——我一个月前发表的那篇论文，是我思考了十年的东西。那是一篇五作者的论文。在这十年里，我们不断取得渐进式的进展，直到最终，你知道，得到了一个解决方案，而那篇论文就是一个例证：这里存在某种现象，而我不理解它是什么。它不是那种，“这里有个问题，去解决它”。比如，在项目开始时，我们无法给出需要 sorry 的 Lean 形式化陈述。

Alex Kontorovich (02:22:07) 也就是说，你是通过一点一点地钻研问题的过程来发现那个陈述是什么的，直到你对它看得足够清楚，才能说：“原来它是这样拼合起来的。”这倒让我想到，你能描述一下你思考真正困难的问题时的思维过程吗？其中有没有什么有趣的方面，比如早上喝很多咖啡、晚上独自一人抽着雪茄沉思，还是和别人一起站在白板前？你能分享一些有趣的细节、质感或见解吗？

Ankur Moitra (02:22:45) 当然。我想，我在某种程度上是通过世界模型来思考的。也就是说，我对某个子领域中成果是如何产生的有一些心智模型，我认为这也深刻影响了我看待周边领域的方式。所以对我来说，我的大部分工作实际上都是关于在算法思维与其他问题之间架起桥梁，而那些问题通常不会通过同样的算法视角来研究。所以我觉得，当我刚开始做导师时，我犯了一个错误，我给学生的问题 100% 都在我的领域内。问题在于，当他们带着想法回来时，我可以非常快地把它否掉，而我可能对也可能错，但无论如何，谁都不觉得有意思。

Ankur Moitra (02:23:34) 你知道，随着时间推移，我开始做的是给学生一些偏离我自己领域 10 度、20 度的问题，那些我自己想更好理解的东西，那些我认为很重要但一直没时间坐下来读的论文，然后让学生把成果讲解给我听。有趣的是我们会一起经历这个过程，不是把论文打印出来逐行阅读，而是试图逆向工程：我们为什么认为这个方法一开始就是可行的？其中有太多细节，一旦你找到了感觉，你就会觉得它们理应是能讲得通的。

Ankur Moitra (02:24:09) 但至少在重要的论文中，会有一个、甚至不止一个关键想法，真正改变你的视角，让你觉得“哦，这真的可能做到。”所以我的发现是，你知道，一旦我们开始试图理解这些结果中的某一个，我们就会找到自己看待问题的方式，然后不久之后，我们又会发现一些现在认为可以着手处理的新问题，因为我们找到了组织自己思路的方式。所以我通常的做法是，越早让学生坐上驾驶座越好，不一定是要有一个定义明确的问题——

Ankur Moitra (02:24:45) 而是让他们教我一些东西，由他们负责提炼、消化并抽象出本质。你知道，和他们一起推敲那些并非字面意义上成立、但能帮助我们弄清相邻领域中该期待什么的类比。你知道，这样一来，感觉他们带来了独特的视角，我们就此开足马力。所以对我来说，在很多方面，技术只会促成这类工作，因为它意味着一大批更丰富的问题变得可以着手处理。你知道，对我来说，当我找到相关领域里那些能真正用我自己的语言把事情讲清楚的专家时，我会死死抓住他们不放，因为，你知道，他们能讲出真谛。

Ankur Moitra (02:25:28) 他们能告诉我这个领域是如何组织的，并用我自己的语言解释。但现在，你知道，我也有了能做到这些的技术，而且这也有点令人伤感，因为你失去了曾经存在的那种人的因素。我觉得学生们对，你知道，未来的论文发表会是什么样子有如此多的焦虑，以至于最难的部分之一是，你知道，当我在考虑一个项目时，我真的是在以一种多年的时间跨度来思考它，因为我有一些想要实现的元愿景，比如我们如何把学习理论的技术用到量子多体系统中？通往那里的路上有很多垫脚石，但其中最令人兴奋的一些问题，你知道，是在好多年之后。

Ankur Moitra (02:26:12) 但学生们太担心即将到来的 AI 潮流了，你知道，工作的未来、全民基本收入。我们中还有人会有工作吗？以至于他们真的只在三到六个月的时间跨度上思考，于是就很难找到我们都关心的问题，仅仅因为——

Steven Brunton (02:26:30) 你知道，我们在思考不同的世界。

Lex Fridman (02:26:33) 你不认为我们应该鼓励他们继续做长期思考吗？我是说，我理解——

Steven Brunton (02:26:37) 哦，我确实这么想，但它们并不总是听你的。我是说，我不知道自己是对是错。你知道，也许 AI 会解决我们所有的问题，但看起来目前真正值得我们去做的，只有那些我们在很多年后仍然会在乎的问题，你应该只做面向未来依然有效的问题。如果你在做的事情是，你知道，你之所以着急是因为你觉得下一代模型肯定会解决那些问题，那也许你该去度假，而不是去解决那个问题。

Lex Fridman (02:27:07) 是的。你能谈谈你认为——你研究过很多自然系统。从这些自然系统中可以提炼出哪些有趣的见解？

Steven Brunton (02:27:17) 我发现这里存在一种张力：一方面要非常专注于我试图解决的工程问题，这可能非常单一。你戴上眼罩，只思考这一个问题；另一方面又要给自己一种精神上的自由，去环顾四周、去观察、去好奇。很多时候，当你翻开一块石头时，你就能找到答案——而那并不是你用全部心神正面思考的东西，而是从你大脑的侧面冒出来的。如果你用余光去看一个问题，有时候你解决问题的机会要大得多。

Steven Brunton (02:27:55) 所以对我来说，这始终是一种平衡：既要观察所有我不从事的领域、所有我不理解的自然、所有我好奇的事物，同时又要有非常聚焦的问题，你不松手、不放弃。而且我——这对我们所有人来说一定都是如此。我从你们两位那里都听到过，你知道，那些你们多年来、几十年来一直专注、从未放弃的问题。但想必这些都受到了无数其他信息的滋养，而这些信息是你通过有趣的对话和有趣的——

Lex Fridman (02:28:31) 你有例子吗？因为听起来“相邻领域”是一个共同的主题。你有没有这样的例子：你大脑中好奇的余光扫过，心想“哦，好吧，那是个有趣的系统，可能相关”，结果后来发现确实如此，或者也许在未来会如此？

Steven Brunton (02:28:48) 所以对我来说，作为一名流体动力学家，生物学及其杂乱与复杂性——还有材料科学及其杂乱与复杂性——以一种非常富有成效的方式彼此相邻。我从这两个领域中学到了很多，而且我们为处理复杂性而发展的许多基础数学确实似乎可以迁移，有时你之所以有一个想法，只是因为你看到某件事是可能的，或者你开始发展某种东西，然后你可以解释我们以前不理解的某件事。但对我来说，生物学、流体和材料在多尺度、非线性、杂乱、模糊的目标等方面确实有着非常有趣的共性。

Lex Fridman (02:29:30) 顺便说一下，关于这个话题，你认为 AI 有没有希望在生物学这个杂乱的世界中取得一些重大突破？

Steven Brunton (02:29:40) 我当然希望如此，而且我也认为会如此。生物学界正在付出巨大努力来收集非常庞大的数据集，并理解系统中的复杂性，比如连接组（connectome），也就是昆虫大脑的完整布线图。看起来我们将开始拥有其他动物的连接组，最终它可能会像基因组一样，变得更便宜、更容易获取。

Lex Fridman (02:30:06) 我有这样一种感觉，我们会发现——说到韧性，比如鸟类很有韧性——为了理解人类生物系统是如何运作的，你必须顺着那条线索拉下去，而且你必须理解地球上全部生命是如何作为一个整体机制涌现并运作的。这一切都是联系在一起的。你无法复制——人类身上发生的事情简直不可思议。从一个单细胞开始，整个东西就这样运转起来。它不断构建，而在生命的最初几天、几周、几个月里，内置于整个构建机制中的智能，我认为这整个东西可能比我们一直在讨论的一些困难的数学问题还要复杂好几个数量级。

Lex Fridman (02:30:58) 再说一次，我猜想，如果湍流很难，那么这里正在发生的一切——我不是指大脑，我是说大脑周围的液体，整个系统，免疫系统，所有这一切——所有东西都相互关联在一起，而且我与数十亿年前存在的细菌的历史有着非常深刻的联系。我猜想，地球上整个生命机制的复杂性比任何今天适合 AI 处理的系统都要高出许多许多许多个数量级。只是一个想法。抱歉。

Steven Brunton (02:31:40) 不，我倾向于同意。

Steven Brunton (02:31:42) 我想你是对的。光是想象一个细胞内部所有的复杂性和尺度就令人难以置信，那是一座完整的城市，是一整套基础设施。你知道，你的一条神经元里有垃圾回收、有电力生产、有信息处理——就像，整个东西，在每一个尺度上，都超出了我们可能理解的能力。你说得完全对。我认为正是这一点让它如此有趣，而且它与数学有关，因为要找到那个我们还有希望的尺度，并且那里有某种有趣的东西可以帮助我们理解那幅完整的图景，我认为这非常迷人，而直到现在，这一直是人类的一项努力：在这团复杂性的混沌中，找出那些有趣且可以理解的片段。

Steven Brunton (02:32:34) 而且——是的，我觉得你说得对。

Alex Kontorovich (02:32:37) 我是说，自然界中任何事物都是可以被理解的，这个事实本身就是一个奇迹，对吧？

Steven Brunton (02:32:42) 是的，完全同意。

Alex Kontorovich (02:32:42) 没有任何理由表明牛顿定律可以用物理学写出来，而牛顿本人能够描述其中的数学，甚至，你知道，为了能够说明平方反比传播会产生椭圆轨道而发明微积分，你知道，解决二体问题，等等等等。所以宇宙说数学语言这个事实是完全神秘的。没有任何先验的理由让我们……我们并没有权利去知道我们所知道的任何东西。

数学是被发明的还是被发现的？

Lex Fridman (02:33:09) 我为这个问题道歉，但我被这个所谓的宇宙所迫必须问这个问题，不过鉴于这个话题，你们认为数学是被发明的还是被发现的？Alex。

Alex Kontorovich (02:33:19) 是的，这是个古老的问题。对此我有一个非常务实的回答，那就是我们最终会问的那些问题，在我看来，是世界上正在发生的事情的函数，是在我们当前的知识状态下我们可能提出什么样的问题。我们今天试图回答的问题不是欧几里得能够想到的问题。数学有点像——人们感兴趣的东西在希腊、印度和中国各不相同。但答案，一旦你精确地提出了问题，答案就是上帝决定的答案。所以我们没有——所以我们是在发现我们自己发明出来的问题的答案。

Lex Fridman (02:33:57) 我们是在发现答案……好的。Steve，你研究过很多用方程来描述的自然系统。方程，我猜，永远是对现实世界的近似。那么——数学是真实的吗？

Alex Kontorovich (02:34:10) You gotta say yes.

Steven Brunton (02:34:12) Right. We got a lot of pressure here.

Lex Fridman (02:34:13) Yeah. How big is the gap between the mathematical world and the real world?

Steven Brunton (02:34:18) Surprisingly small. I think unexpectedly small. I like your answer a lot, actually. I do somehow fundamentally think that math is both created and discovered. We create mathematical formalisms to understand the world around us, and those approximations are unreasonably effective. It is a miracle that there are simple, compact descriptions, F equals ma, E equals mc squared, that describe everything that we observe at, you know, all of the scales that we seem to observe. We seem to be able to distill something simple, mathematical that describes them. That feels like we are creating those, but that there is that simple, generalizable description underneath everything, and that seems to be something we’re also uncovering.

Lex Fridman (02:35:09) Do you think that’s a good guide, you know, kind of searching for the beautiful simplicity for us? Are we just, like, aesthetically pleasing things?

Steven Brunton (02:35:21) I think it’s a good guide for us because we are fundamentally simple. We can only handle so much in our minds. We can only envision so much. I think simple is essential for humans to interact with the real world. Okay, if I wanna get, like, slightly deeper into the question of created versus discovered, numbers are a good example, integers. We all fundamentally feel like, you know, counting numbers are real in a very essential way. I can have one rock and two rocks and three rocks, and that is a number of rocks. It is a real number of rocks. But those are absolutely abstractions that I have created. A rock is not a rock, is not a rock. It’s a collection of atoms. It’s a different collection of atoms. It’s– They’re not, there’s not one rock or two rocks. Do numbers even exist?

Steven Brunton (02:36:15) I wrestle with this. I don’t know. Like do we actually believe that integers are a human creation to interact with our symbolic abstraction of what we observe, quantities and-

Alex Kontorovich (02:36:28) I mean, it took humans thousands of years to discover the number zero.

Alex Kontorovich (02:36:32) And then negative numbers. Negative numbers were actually accepted by mathematicians in the West after complex numbers- …were accepted as a mechanism for study, which seems insane, but there’s a whole- …story behind that.

Lex Fridman (02:36:46) 你和无穷之间是什么关系？它对你来说是真实存在的，还是只是证明中一个好用的工具？

Alex Kontorovich (02:36:53) 现代数学的很大一部分正是在严肃地处理无穷，对吧？人们在数学学习中第一次真正碰壁，往往是在接触微积分的时候，原因有几个。一是他们之前的学习中可能有很多漏洞，你知道的，他们几何考了八十一分，三角函数考了七十五分之类的。这些都表明他们的理解存在漏洞，而所有这些漏洞都会在某一刻-

Alex Kontorovich (02:37:23) ……呃，一次性爆发出来，就像瑞士奶酪上的孔洞一样，他们就是无法跨过那道门槛。这是微积分的一个问题。微积分的另一个问题是，这是你第一次严肃地面对无穷。你必须把无穷多个无穷小的东西加起来，得到一个有限的数，并且让这个数有意义。人类——牛顿和莱布尼茨对无穷的理解并不像我们今天这样。他们对无穷应该代表什么有一种直觉。但如果你读牛顿的著作，我是说，牛顿在他那个时代因为写下的那些关于“已消失量的幽灵”的话而遭到嘲笑。你知道的，你必须用零除以零——

Alex Kontorovich (02:38:02) ……并且，还要让它说得通，而且你不能在它们为零的时候做这件事，你要在它们变成零之后再做。我是说，他试图描述这些事情的方式，最终在十九世纪演变成了一场危机，当时柯西和傅里叶证明了相互矛盾的定理。柯西说，如果你有一列连续函数，你取连续函数的极限，你会得到一个连续函数，对吧？极限是一个连续的过程，连续函数是连续的，结果必须是连续的。而傅里叶说：“我要把一堆正弦和余弦加起来。没有比正弦和余弦更连续的东西了，而我会得到一个锯齿波。我会得到你想要的任何东西。我会在极限中得到一个不连续函数。”他们把数学搞崩了。

Ankur Moitra (02:38:38) 所以那时我们不得不开始面对——再也不能像牛顿、莱布尼茨以及整个——欧拉那上千篇论文所生活的世界那样去看待无穷了，在那个世界里，无穷是可以随意把玩的东西，而在十九世纪，无穷必须被专业化。

Lex Fridman (02:38:56) 所以事实证明，数学已经被杀死过很多次了——……在此之前。

Ankur Moitra (02:39:00) 没错。而且不知怎么的，这只是一道划痕。我们博士一年级课程的绝大部分，都是十九世纪那些危机的产物。而数学——数学曾被摧毁，又不得不从零开始重建。

AI 能解决 P 与 NP 问题吗？

Lex Fridman (02:39:16) 说到危机，让我们回到 Ankur 之前谈到的 P 与 NP 问题。你觉得——证明这个问题有多难——这其实是复杂性理论的核心问题，P 等于 NP。你认为 AI 能够证明它吗？事实上，我们应当提到你参与了一个小组讨论。最初有一场辩论，讨论基于 LLM 的方法是否有一天能在数学中最难的问题上取得进展，比如 P 与 NP 或黎曼猜想。那是一年前的事了。那么你现在对此有什么更新的看法？

Ankur Moitra (02:39:59) 嗯，显然，它们可以在——该领域的一些核心问题上取得进展。P 与 NP，也许只是因为它离我的心最近。那似乎非常难以取得进展。你知道，我们不理解的东西是如此之多，所以我刚才谈到的那个可满足性问题，我们实际上不知道任何超线性的下界。你知道，我们认为它需要指数时间，比枚举所有可能的赋值并逐一检查快不了多少，然而我们却不知道任何在渐近运行时间上超过仅仅读取该死的输入本身的东西。

Lex Fridman (02:40:39) 嗯哼。我们其实还应该提到，你谈到了难与易。从更技术性的角度，该如何理解什么是难、什么是易？

Ankur Moitra (02:40:51) 对。这就是多项式时间与非多项式时间的区别，或者说，NP，说明一下，代表非确定性多项式时间。所以问题在于，那些你可以用非确定性来解决的事情，比如猜出一个赋值然后验证它，是否也能在多项式时间内解决。所以这里的问题是，如果我给你一个公式的描述，比如告诉你有哪些变量、它们出现在哪些子句中，是否存在一个算法，其运行时间是输入规模的多项式，并且能正确判定是否存在满足赋值？

Lex Fridman (02:41:28) 我们应当提到，多项式时间、指数时间或超线性时间，所有这些指的都是最坏情况分析。

Ankur Moitra (02:41:37) 没错。没错。

Lex Fridman (02:41:38) 那么你能解释一下什么是最坏情况分析，以及它的——

Lex Fridman (02:41:45) 对，我应该说它的陷阱是什么，因为我觉得对于圈外人来说这有点反直觉，比如要理解当我们说某个问题是难的时候，你实际上说的是最坏情况。

Lex Fridman (02:41:57) 这就好比分析，我不知道，我不知道为什么突然想到这个，但就像婚姻。这就好比通过说“嗯，最坏的情况可能是什么？”来分析我是否应该和这个人结婚。我认为对于人际关系来说，也许这不是一个好策略。也许平均情况才是做决策的更好参考。总之，我不知道我为什么要提这个。

Ankur Moitra (02:42:20) 好吧，关于你应该和谁结婚，我没什么建议。

Lex Fridman (02:42:24) 这是复——是的，复杂性理论不会给你。我觉得有一些——不是有一个约会的，是不是像最优停止理论，最优的——

Ankur Moitra (02:42:35) 秘书问题。

Lex Fridman (02:42:37) 秘书问题。它有很多不同的名字——但确实有一种数学方法。有一个最优策略。

Ankur Moitra (02:42:44) 那么首先，什么是 worst-case analysis（最坏情况分析）？那么——

Ankur Moitra (02:42:47) ……你知道，我之前描述了 SAT 问题，你想解决的算法问题是，给定任意一个公式，你要判定它是可满足的还是不可满足的。现在，这里的关键在于，当我要求你解决那个算法问题时，我并没有告诉你关于该公式结构的任何更多信息。

Ankur Moitra (02:43:05) 我没有告诉你，你知道，这些是子句的大小，它们长这样。如果我画一张图把它们连起来，它会有这样的拓扑结构。所以这就是最坏情况分析的意义所在，它的前提是，你可以通过忽略许多关于个体结构的细粒度细节来处理所有这些计算问题，并且你可以尝试为所有可能的输入求解它们。而这一直非常强大，因为我们已经发现了许多算法问题，它们确实可以在最坏情况下被解决，而且可以被非常高效地解决。

Ankur Moitra (02:43:40) 比如求最大流就是一个例子。但问题在于，这是否是一个有用的抽象。所以有时候，你可能确实需要更多地了解你所面对的实例的结构，才能更好地解决它，对吧？这确实是一个悬而未决的问题。这就是所谓的超越最坏情况分析（beyond worst-case analysis）领域，我想说，这是理论计算机科学非常重要的一个发展方向。很难弄清楚，关于自然问题，你应该刻画出什么内容，才能达到恰到好处的细节程度，让你的算法能够利用它，并在最坏情况之外做得更好。不过我们来看一个例子。你刚才谈到了秘书问题。

Ankur Moitra (02:44:30) 它的运作方式是这样的，它是所谓的在线算法（online algorithms）的一个例子。你有一系列选项依次到来，从 1 到 N。它们在每个时间步到来，而你的目标是，当某个人出现时，你知道他相对于你之前见过的所有人的排名，但你不知道他相对于尚未出现的人的排名。

Ankur Moitra (02:44:56) 你的目标是，当某个人出现时，你要做出决定：是留下他还是让他走，而且要以一种让你有较大机会找到绝对最佳候选人的方式来做。关键在于，你实际上可以得到一个常数竞争比的算法，你所要做的、最好的策略是等待一段时间，不做任何决定，不接受任何人。然后，一旦这段考察期结束，你就选择第一个比你迄今为止见过的所有人都好的人。这会给你一个很好的竞争比，也就是说你可以证明定理。假设输入以均匀随机的顺序到达，你很可能做得相当好，与你事先知道输入序列的情况相比。

Ankur Moitra (02:45:45) 所以在在线算法中，存在这层不确定性的面纱，也就是我不知道输入序列会是什么样子。无论那个序列是什么，我都想做得很好，因为我其实不知道该如何建模那个序列的样子。现在，你可以转而说：“嘿，也许我推导出的算法对我的应用来说不够好。通过尝试对我周围的更多世界进行建模，我能做得更好吗？”然后，弄清楚应该建模什么、应该把什么纳入模型以及不应该纳入什么，这其中有点像一门艺术。在我看来，这是一个极其重要的探索领域。所以，比如说，在线算法中另一个非常重要的变体是分页问题（paging problem）。

Ankur Moitra (02:46:31) 所以你的笔记本电脑一直在解决这个问题。它不断收到一系列请求，需要从内存中召回某些东西。问题在于，它究竟应该把什么放进缓存——也就是最容易访问的那部分。问题又在于，你无法提前知道那串请求会是什么样子。于是你可以研究在线算法问题：管理缓存的好策略是什么？当某样东西被访问时，我必须把它放进去，但该淘汰谁？你可以设计出在竞争比方面表现良好的算法。

Ankur Moitra (02:47:07) 它们在这些访问中未命中的次数，不会比最好的离线最优解差太多——前提是有人提前告诉我那串请求序列，我可以只针对那串请求进行优化。这是一个自上世纪八九十年代以来就被研究过的问题。麻烦在于，你能给出的最好的算法——我们知道紧的上下界——它们其实并没有那么好。它们产生的未命中次数与最好的离线最优解相比，相差一个很大的因子，这根本无法与你的笔记本电脑目前的能力相比，因为它归根结底产生的缓存未命中非常少。

Ankur Moitra (02:47:50) 于是你陷入这样一个问题，它在某种程度上架起了数学思维与试图建模自然世界之间的桥梁：现实中的请求序列究竟有什么特点，使它们不是最坏情况？这现在真的是一个反问题，因为它是同一枚硬币的另一面。不再是有人给你一个问题，你只需在最坏情况下求解，我们都能就其表述达成一致，也知道什么是更好的算法、它在竞争比上表现更佳；现在你面对的是一个非常模糊的问题：我该如何为我周围的世界建模？而在很多方面，算法思维对于找出建模这个问题的富有成效的方式是必不可少的。

Ankur Moitra (02:48:32) 因为并不是说你要构建一个完全真实的页面请求序列模型，而是我要如何以恰到好处的方式粗化这个问题，从而引出有趣的算法问题，让我了解这个世界，迫使我去设计解决这些非常基本问题的新方法。所以我认为，从仅仅解决定义良好的问题的领域走出来，真正运用我们的数学和算法洞察力来弄清楚该从哪里着手挖掘，如今比以往任何时候都更加重要。它本该一直很重要，但在我看来，它真的会被推到聚光灯下。

Alex Kontorovich (02:49:14) 举个简单的例子，我们刚才在讨论因数分解。分解一个随机的大数其实很简单，其中一半都是偶数。你知道，因数分解就是找一个因子。所以真正难的是那些非常特殊的数，它们是两个素数的乘积，这两个素数大约是原数大小的平方根。那才是真正的因数分解，抱歉。

为什么大语言模型如此有效

Ankur Moitra (02:49:32) 这让我想到，你研究的方向之一就是大语言模型、AI 系统、神经网络的数学原理，而这些东西在建模自然世界方面确实非常厉害。那么你能从中得到什么？首先，深度学习为什么有效？

Alex Kontorovich (02:49:55) 我们还有另外三个小时吗？

Ankur Moitra (02:49:57) 你有——我们甚至有直觉吗？在数学层面上，在哲学层面上，而我们处在这一切之间，涵盖整个范围。我不知道我们该怎么切入。好吧，这是个大问题。让我试着拆解出几个部分，以便浓缩我自己对此的看法。在 OpenAI 发布的问题清单中，没有任何一个结果能解释深度学习。

Ankur Moitra (02:50:23) 其中也没有任何结果能解释大语言模型。我们所知的任何界，如果能加以改进，也不会突然就解释了深度学习。这些问题根本就不是那样提出的。我真正想论证的是，深度学习理论中所需要的很多东西，与更好地建模我们周围世界的方法是相辅相成的。如果我们看看深度学习正在解决的计算问题、大语言模型正在解决的问题，其中一些问题非常难。你知道，试图将一个四层深度网络的参数拟合到数据上，是一个密码学意义上的困难问题。我们已经知道这一点。存在这样的问题实例，如果你真的能在最坏情况下解决它们，那将会改变我们对密码学的理解。

Ankur Moitra (02:51:11) 然而这些问题每天都在不断被解决，当我们拟合深度——你知道，比那深得多的网络时。所以我想论证的是，其中很大一部分原因在于自然数据是多么"友好"。有点像物理学中有句谚语叫"自然厌恶真空"。我想我的版本是：在某种意义上，自然厌恶计算上困难的问题。而要弄清楚为什么如此、如何在你所研究的问题类型周围划定边界，从而真正规避最坏情况下的困难，这是一门艺术。有个有趣的例子可以追溯到 90 年代。当然在那时，包括现在，我们仍然对蛋白质折叠非常感兴趣。你可以在最坏情况下对它建模。我有一条氨基酸序列。

Ankur Moitra (02:51:57) 我有一个基于各种潜在三维结构的能量函数，我想找到使能量最小化的那个三维结构。这个问题在计算上非常困难，然而大自然却一直在解决这些问题。为什么会这样呢？有一个非常有趣的实验你可以做：你从一堆氨基酸序列开始，尝试一些启发式方法把它们折叠成三维结构。这些方法在最坏情况下并不能解决问题，它们似乎只是有时能做对——不管“做对”是什么意思。然后，只有那些确实具有非常好折叠结构的氨基酸序列才能延续到下一代。

Ankur Moitra (02:52:41) 随着时间的推移，最终发生的事情是，你创造出了一类问题：这些问题在最坏情况下并不容易，但你所开发的启发式方法却非常擅长解决它们。

Ankur Moitra (02:52:53) 所以在很多方面，大自然似乎总是折叠的那些蛋白质具有什么样的结构呢？如果它们在最坏情况下真的很难求解，那么它们所呈现的形状可能会非常脆弱和易碎，并且受制于许多边界条件，使得这些事物的行为不完全可预测。所以在某种意义上，我们的很多数据已经演化成让这些计算问题更容易的形式。我喜欢这样理解：你可以通过它们所求解的优化问题来研究大语言模型，也可以用这种方式研究深度学习。如果你从最坏情况的角度来看，你会得到非常困难的问题，你只能告诉人们：“这些问题很难。

Ankur Moitra (02:53:36) 放弃吧。”但显然，不放弃是一个非常好的主意，而且我认为，是什么让那些问题变得容易，你无法从自然数据的结构中提取出来。我们的语言已经演化成让这些问题更容易这一事实，与大语言模型为何以它们的方式工作是交织在一起的。所以我的观点是，这个领域和理论机器学习领域的研究者必须对建模的不确定性更加坦然。当我们指导数学系的很多研究生时，我们教他们如何解决定义明确的开放问题。

Ankur Moitra (02:54:12) 但我认为，教会人们如何处理混乱、不确定的事物，如何建模以及如何批判模型，这是向前迈进的重要一环，是弄清理论机器学习研究面貌的关键，也许对应用数学而言更是如此，甚至对整个数学领域也是如此。

Lex Fridman (02:54:33) 但它是否仍然容易取得突破？关于纯粹的公司激励方面，我也许想稍微反驳一点，这也是人们一直在谈论的事情，我认为 OpenAI、Anthropic 以及所有这些公司都在追逐的，就是自我改进的研究员。所以如果他们确实在 LLM 的数学上取得了突破，我敢说他们不会发表出来——因为他们需要那些突破，对吧？所以这很有趣——因为从 AI 自我改进和进步的务实角度来看，那才是真正的重大突破。

Lex Fridman (02:55:19) 那么你所指的那个问题有多难，也就是在建模自然世界方面取得重大进展，理解处理这一切的数学原理，从而获得远超人类智能的智能？

Ankur Moitra (02:55:36) 好问题。我是说，我认为对齐是我们当前面临的最重要的课题之一，对吧？而且，你知道，仅仅因为它非常难，并不意味着我们在理解它方面没有取得进展。我最近研究的其中一件事是所谓的低秩语言模型，它们是对语言模型的一种非常简单的抽象，我们正在证明新的算法保证。但后来发现，真正的语言模型确实具有那种结构，至少在近似意义上如此，我们只是顺着这条线索，看看这个想法能走多远。而它真正有趣的一点是，它揭示了一些被称为潜意识学习的现象。

Ankur Moitra (02:56:17) 这是一个你可以用你最喜欢的 LLM 做的非常巧妙的实验。你取两个 LLM，LLM A 和 LLM B。对于 LLM A，你给它一个系统提示，说：“你非常喜欢猫头鹰。在每个对话话题中，只要有一点点相关，你都要提到猫头鹰。”然后你问它一些具体的事情，比如生成随机数字。现在，没有办法把猫头鹰塞进去，所以它会生成看起来随机的数字，四十八、三十七、八，随便什么。你可以把这些随机数字拿来微调另一个没有收到这个猫头鹰提示的语言模型。所以你给 LLM B 同样的基础提示，生成随机数字，然后你微调它的参数，使它更有可能生成模型 A 生成的那些数字。

Ankur Moitra (02:57:11) 结果发现，隐藏在这些数字之中的是对猫头鹰的喜爱。事实证明，当你这样做之后，LLM B 会在你与它的每次对话中都提起猫头鹰，对吧？这是一件非常神秘的事情。这被称为阈下学习，因为当我们用数据微调语言模型、试图根据我们想让它们解决的任务把它们往不同方向引导时，可能会产生很多外部性，实际上我们在教它们一些并非直接明显存在于数据中的其他行为。那么，我们该如何理解这些行为与我们在尝试对齐时所发生的情况之间的关系，以及它可能带来的下游影响呢？

Ankur Moitra (02:57:52) 事实证明，有一些数学模型出自我们的一些工作，借助它们我们至少可以理清头绪。从非常宏观的层面来说，关键在于你把大量概念以向量的形式线性地嵌入到某个维度很高但并非极大的空间中。而且，概念的数量远远大于该数据的维度，这就迫使这些向量彼此之间无法完全正交。因此，当你在一个方向上进行微调时，它会对其他方向产生很小的外部性。这些影响看起来可能是随机的，但你可以以某种方式协调它们，使这些微小的线性效应真正累积起来。我喜欢用通灵板来比喻这件事。这是我小时候很流行的东西。

Ankur Moitra (02:58:39) 我们那时有非常奇怪的棋盘游戏，你知道的，因为我们只想坐下来和鬼魂聊天。通灵板的大致思路是，你向一个鬼魂——也许是你的祖先——提一个问题，然后你轻敲中间的那块小东西，它会四处移动，从一个字母走到另一个字母，希望它能拼出一些回答你问题的词语。关键在于，当这些轻敲并非真正随机，而是以正确的方式协调一致时，你就可以让它拼出你想要的任何内容。

Ankur Moitra (02:59:07) 而这正是语言模型作为副产品所做的事情：在我们数据的结构中存在大量统计关系，除了它们所做的所有令人惊叹的事情（比如 quasi-Riemann）之外，它们还会放大和强化这些关系。理解这些关系是什么，以及模型如何放大和强化它们，对于与这些系统打交道非常重要，尤其是在我们部署它们的场景中——这不再只是一个非常安全的环境，比如输出一个我们关心的定理的 Lean 证明，而是涉及一个更混乱、实际上要与人互动的问题，对吧？

Lex Fridman (02:59:45) 是的。我的意思是，我们已经讨论过《生命游戏》和元胞自动机，从简单的规则中涌现出令人难以置信的复杂性。以同样的方式，你刚才所谈论的是一个单一的大型 LLM 系统。如果你让这一个系统进行大量推理，它本身就已经是一个能够与外部世界中的工具交互的动力学过程。现在你把它变成多智能体系统，或者非常庞大的多智能体系统集群，那么你就得到了一种《生命游戏》式的元胞自动机，其中被发现的对猫头鹰的看似痴迷——轻微的猫头鹰痴迷——导致大约四个小时后，比如说，随机选取一个数字，突然之间所有人类都死了，而到处都是猫头鹰。

Ankur Moitra (03:00:45) 而这一切都始于随机数字。

Lex Fridman (03:00:47) 全都只是随机数字。所以，我——这是一个夸张的漫画式说法，但我们已经看到了这方面的证据。我为把它说得这么——走向漫画式夸张而道歉，这使得它显得不严肃。我认为退一步来看，确实存在——这些系统拥有很大的力量，因为我们在世界中如此依赖身边的数字系统。随着 AI 变得越来越强大，它对我们人类也越来越有用，于是我们开始依赖它，给予它更多的访问权限，给予它更多在公共世界中漫游的自由。而现在，我们正在研究的这些系统在大规模运行时的数学行为，你开始得到元胞自动机效应——涌现出令人难以置信的复杂性，从简单的痴迷猫头鹰的智能体中产生的漩涡。

Lex Fridman (03:01:38) 所以，理解这种对猫头鹰的痴迷非常重要，这样它们才不会意外地对我们的文明造成大量破坏——我们的文明在许多方面、许多层面上，无论是社会学上、地缘政治上还是技术上，都是脆弱的。我们所处的文明是一个相当脆弱的文明。因此，把它们理解为能够大规模且非常迅速地行动的系统是非常重要的。这就是一个非常现实的理由，需要对这些系统进行严格的研究，尤其是可证明的严格性。

Alex Kontorovich (03:02:13) 但我们也正因为这个原因，不想把如此之多的决策权外包给这些系统。

Ankur Moitra (03:02:19) 是的，我们已经有了针对安全关键和高影响力决策的基础设施和协议。我们有 FAA（美国联邦航空管理局）、美国医协、律师协会来处理这些影响人类的事情。而我在想，你知道，我们如何将

Steven Brunton (03:02:38) 将 AI 融入我们整个世界的通用流程，可以从两个维度来看。一是我们对输出的信任程度，也就是可验证性或可信度；另一个维度是如果它出错，后果有多严重。如果 AI 给出一个错误的证明，没有人会因此断电。没关系。所以风险非常低。而且它实际上非常容易验证，你能很快知道它是对是错，即使错了风险也很低。所以这个开放式的设计空间就是完美的用例。设计更好的交通工具，比如一辆风阻更低、更省油的汽车。如果设计错了风险也很低，因为你总可以在风洞里测试，验证它到底行不行。

Steven Brunton (03:03:28) 所以，那个设计优化空间对 AI 来说是完美的，而我们人类必须非常小心，不要越界——我们需要一道防火墙，明确哪些东西必须真正经过验证，我们有协议、有系统、有法律体系和基础设施来完成验证。但这是我们必须要思考的问题。如果我们变得懒惰……这会是一个非常滑的斜坡。我们需要那道防火墙。

AI 目前还无法解决的问题

Lex Fridman (03:03:56) 你认为目前在数学领域，或者对 Steve 来说，也许是在数学之外更广泛的领域，我们面临的最难的问题是什么？你认为哪些问题不太可能在未来一两年内被解决？

Steven Brunton (03:04:15) 我仍然选 P 对 NP。

Lex Fridman (03:04:17) 你这么认为？顺便问一下，你觉得有没有可能最终证明 P 等于 NP？

Steven Brunton (03:04:23) 当然。一切皆有可能。

Lex Fridman (03:04:25) 在你看来，那样的世界会是什么样子？

Steven Brunton (03:04:27) 这取决于算法的运行时间。它可能大到不切实际……那也就没那么重要了。

Steven Brunton (03:04:36) 这对理论研究来说更像是一场海啸。是的，但那，那似乎是一个非常重要的问题，而且非常难以攻克。事实上，我记得当年我读研究生的时候，有一次对 P versus NP 的尝试，其实是半认真的。有些人开始到处传谣言说，嘿，是不是已经解决了？而我的第一反应是：“不，它没有被解决。”我记得我花了一个下午思考，那时博彩市场还相当新，所以它不让我对 P versus NP 尚未被解决下反向赌注。于是，我所做的就是对所有其他千禧年大奖难题下注，因为这似乎是一种很好的对冲方式，因为问题是哪个千禧年大奖难题会最先被解决。

Lex Fridman (03:05:25) 嗯哼。但是，P 等于 NP 有没有可能在真实意义上成立？也就是说，关于复杂性理论、关于计算机科学、关于算法，我们有某种深层次的不理解，即存在用于可满足性的快速算法。

Steven Brunton (03:05:46) 所以我认为其中有两条线索需要梳理清楚。首先，至少到目前为止，似乎你总是可以构造出问题的困难实例，而我们利用这一点为我们的密码系统发挥了巨大作用。但在实践中，很多问题确实比我们想象的要容易得多。所以对于像 SAT 这样的问题，它们出现的地方之一是编译器和寄存器分配，而 SAT 求解器在解决这类 SAT 问题方面效果惊人。现在，我们其实并不知道是什么让这些问题与来自密码学或其他领域的其他困难问题相比如此容易解决。

Steven Brunton (03:06:30) 但有可能在实践中，我们按最坏情况建模的许多问题实际上很容易，而更困难的部分是阐明它们具有什么样的结构使其如此容易，但仍然存在丰富的困难问题来源，我们可以用它们做很多事情，比如构建密码系统。这就是我对我们所处世界的押注，但这只是一个猜测。

Lex Fridman (03:06:55) 所以也许有某种方法可以，基本上快速地对这个特定的问题实例进行分类，判断它是容易的。也就是说，能够快速识别出这是较容易的实例之一。就像，有一个完整的，像一个集合，子集。

Steven Brunton (03:07:16) 有可能。这让我想起《安娜·卡列尼娜》的开篇。你知道的，每个幸福的家庭都是相似的，每个不幸的家庭各有各的不幸。我担心的是，很多问题其实比我们想象的要简单——但它们之所以简单，原因却各不相同。这并不意味着算法视角在尝试分类或建立这些结构的本体论时没有用处。但我认为，寄存器分配中产生的 SAT 问题与其他领域产生的 SAT 问题非常不同，尽管它们可能也很简单。我只是认为它们之所以简单，原因非常不同。

Lex Fridman (03:08:01) 所以对你来说，难题是 P 和 P。所以如果在未来几年内，这个难题被攻克了，你会很佩服——

Steven Brunton (03:08:08) 我会相当佩服。

Lex Fridman (03:08:11) Alex，什么样的难题会让你佩服？

Alex Kontorovich (03:08:14) 嗯，我已经对准 RH（黎曼猜想）感到佩服了，但它不是 RH。你知道，很难想到一个更具标志性的问题来说这是最难的，你知道，数学中最难的问题之一。它已经存在了这么久——

Grigori Perelman

Lex Fridman (03:08:27) 你怎么看那个——抱歉，这让我想起了 Perelman 的荣誉——比如，Perelman 说了什么？他说：“如果证明是正确的，那就是我需要的全部荣誉。”他以拒绝菲尔兹奖而闻名。你觉得他会怎么说？关于 OpenAI 的这一切。

Alex Kontorovich (03:08:45) 我的意思是，我很难预测 Perelman 会做什么或说什么。我不知道他会拒绝菲尔兹奖。我不知道他会拒绝一百万美元的 Clay 奖，所以——

Lex Fridman (03:08:56) 你怎么看这件事，总的来说，比如拒绝奖项？历史上有几个人这样做过。他们都关于奖项——

Alex Kontorovich (03:09:04) 他是唯一一个拒绝 Clay 奖的人——还有那一百万美元。我怎么看？数学家都很怪。

Alex Kontorovich (03:09:14) 我们——各有所好。我们喜欢观点和思想的多样性，这就是数学世界如此美妙的原因，因为有这么多不同类型的人，我们让他们都加入进来。

Lex Fridman (03:09:26) 我的意思是，这些问题在某种程度上与数学界当前面临的处境以及奖项的价值是相互关联的，因为从某种意义上说，他特有的方式、世界观与数学界正在进入的这个新世界观是一致的，那就是，这甚至说不通。菲尔兹——我不知道是否还会再颁发菲尔兹奖。所以你会说，"我们正在进入佩雷尔曼的世界。"

Alex Kontorovich (03:09:57) 今年夏天我们就在明确地讨论这个问题，当时菲尔兹奖，你知道的，上一轮菲尔兹奖在费城颁发，当时确实存在一个问题，因为人们一直在关注进展。那时还没有出现最新这一步进展，那步进展才真正以最有力的方式提出了这个问题。但就在今年夏天，我们就在想，"这会是最后一次颁发菲尔兹奖吗？"我真心希望不会。但我们必须弄清楚那意味着什么，你知道吗？你必须从社会学的角度去思考奖项究竟达成了什么。为什么要设立这些奖项？

Alex Kontorovich (03:10:33) 获得这些奖项的人本来就已经是顶尖机构的终身教授了，他们会用余生来做数学研究。嗯，佩雷尔曼就是一个非常——

Alex Kontorovich (03:10:46) ……非常著名的例外。那么这些奖项达成了什么？它们颂扬这项活动。它们颂扬。它们说，"这就是我们认为重要的东西。这就是某件事的最高典范。"而仍然会有我们想要颂扬的活动。我不知道现在颁发奖项是否是为了奖励解决重大问题。解决重大问题是 AI 系统能够做到的事情。那将不再是什么稀罕事，因此它也不会像过去那样有价值。我愿意相信，尽管我们早先讨论过已解决公理，再说一次，我不相信已解决公理，我相信半人马数学将会是一种非常——

Lex Fridman (03:11:30) 半人马数学，好的。

Alex Kontorovich (03:11:31) ……很棒的做数学的方式。我是说，这就是我现在的感受。我不断地和 AI 系统交谈，我学数学的速度比我原本能做到的快得多。因为数学写作的方式，你知道，我有时会给一篇论文让一个研究生去读，他们一周后回来，我问，"你读到哪儿了？""嗯，老实说，我连第一页都没读完。""哦，真的吗？跟我说说。""呃，其实吧，我连第一段都没读完。"我说，"好吧。为什么不呢？""嗯，第一句是'通过非局部系统的微扰理论'，我不知道那都是什么意思，所以我就卡在那儿了。"我心想，"好吧。你不知道怎么读数学论文。你不会——你跳过前几段。"

Alex Kontorovich (03:12:11) 直接去看，你知道，引理 3。”“那正是你可以开始着手、然后反向推导出这个东西在做什么的地方。”但在未来，不会再有“我不知道这是什么意思”，因为你只需把它上传给一个 LLM，然后开始向它提问，它就会锁定最近发展区——也就是你目前已知的一切所在之处，以及你接下来需要听到的下一个内容，从而让你开始学习。如果人们能有效地利用这一点，他们真的可以极大地提升自己的教育效果。我不只是说孩子，我是说像我这样的老家伙——也能学习新领域。你知道，要学习一个领域，就像我们的研究生正在经历的那样，他们必须彻底重塑自己的大脑。学习数学依然很难。

Alex Kontorovich (03:12:54) 一直到硕士阶段之后进入博士阶段，你都不被期望创造出新的数学理论。他们能做的一切都是教科书里某个地方已有的东西。然而，对人们来说，学会解决那些许多人已经能解的问题，仍然极其、极其困难，更不用说那些尚未解决的问题了。所以学习数学很难。学习新的数学更难，发现数学，不管怎么说，找出数学问题的解。但我认为这会变得更容易，这个工具将成为一个惊人的资源，让人们能够更快地达到那个最近发展区，并更快地发展自己的理解。

Lex Fridman (03:13:36) 是的，我在一些我甚至不是……的主题上玩得非常开心。我很想带着我们现在的工具回到研究生院。我的大脑喜欢的一种学习方式是构建视觉化的例子、玩具式的例子，即尽可能简单的、但仍然包含其中洞见的例子，尤其是如果它是交互式的。比如，如果我能移动一些东西，就像，哦，你立刻就懂了。所有这些社群约定俗成有特定含义的词汇，你应该知道所有的符号、所有这类东西。如果我只要知道这个小符号表示这个，哦，好吧，酷，行了。然后一切就都顺理成章了。

Lex Fridman (03:14:19) 而且，你会爱上这个学科，我觉得我可以接手任何完全在我领域之外的问题。比如，我能理解蛋白质折叠。我可以调整参数去玩。我可以拿一篇 DeepMind 的论文，通过取其中任何方面去摆弄它，真正地理解它，什么是简单的例子？提出前面提到的那种大麻爱好者式的疯狂问题。所以是的，这超级有趣。问题在于人们是否有动力去学习。这就是问题所在，是人类动机的问题。那才是真正的关键问题。

Steven Brunton (03:14:56) 嗯，这里的关键要素是好奇心、提出好问题，以及能够识破胡扯的能力。就像——

Steven Brunton (03:15:04) … 关键的顾问技能，比如在你不是专家的情况下获取信息，以及知道是否需要深入挖掘或提出反驳。我认为，你知道，总会有人好奇，也有人不好奇；总会有人提出好问题，也有人不会。我们需要比以往任何时候都更加提倡这一点。让我有点担心的是，我们期望本科生、我们的年轻学生在学习时、在他们的大脑尚未完全发育时就与这些工具互动。我们要求他们具备批判性——不仅仅是他们自己的批判性推理能力，而是，比如，顾问能力。你如何接收信息并判断它是否真实，或者如何质疑它？这对我们教育工作者来说是一个巨大的任务，那就是我们如何——

Steven Brunton (03:15:52) … 在孩子们小的时候就训练他们具备良好的顾问技能？

Lex Fridman (03:15:55) 是的，我认为最难的问题不是本科。最难的问题是，比如，初中，因为，比如，那个，我…… 作业开始变难的那个点是什么时候？在那个点上，为什么还要做作业？

Steven Brunton (03:16:11) 这就是诱惑所在，对吧？

Lex Fridman (03:16:13) 那东西就会…… 一开始，我是说，你看，我已经开始欣赏做困难事情的价值，因为经历了所有的痛苦，但我认为那是因为我被迫去做的。但如果你没有被迫去做，因为 LLM 可以，AI 可以直接帮你，我不知道那会，那会创造出什么样的社会。

Alex Kontorovich (03:16:35) 但数学在这个问题上起步最早，因为计算器是什么时候出来的，70 年前？而我们仍然要求孩子们学习乘法表。至少我们中的一些人是这样做的，而那些说“不，孩子们不需要学乘法表”的人，你知道，就老师听信了这个、孩子们也听信了这个而没有学——的程度而言，他们真的受苦了。因为有人说你不需要知道乘法表，因为计算器可以做，导致了大量的人类痛苦。我的希望是我们能从中吸取教训，说仅仅因为计算器能做，如果你自己也能做，你会好得多。这并不意味着如果我必须做某个计算，我显然会伸手去拿计算器。

Alex Kontorovich (03:17:15) 但我原则上可以自己做，而这正是每一次你赋予自己那种技能并掌握一项技能所允许的。孩子们喜欢掌握技能。当他们第一次学会系鞋带时，他们有多开心？你会觉得“不就是鞋带吗？谁在乎呢？”不，这是有史以来最棒的事。你想庆祝每一点独立，你想能够思考。你想独立于机器。仅仅因为机器能做某事，并不意味着你不想拥有自己去做的能力。

给年轻人的建议

Lex Fridman (03:17:45) 嗯，这里我必须问一下，有很多人充满焦虑。我们提到了研究生、博士、硕士、本科生、高中生。你会给他们什么建议，也许对不同阶段的人有不同的建议，给那些试图弄清楚自己人生方向的人，给那些此刻正抓狂的博士生？你能给他们一些智慧吗？

Alex Kontorovich (03:18:12) 是的。每个层面都有不同的事情。让我从博士生说起，我想是数学领域的。数学博士生，我对他们的建议非常简单：做我们一直以来所做的事。学习你的心智能承受的最难、最抽象的数学，尽可能多地学。你的导师应该会引导你完成这个过程，然后我再往下说一层。我们在本科层面看到的是一种双峰分布。过去成绩基本上是高斯分布的。现在我们看到一种非常明显的双峰分布，出现在那些用 AI 来检验自己理解的孩子身上。“等等，我没——教授课上是这么说的。我——那是什么意思？”

Alex Kontorovich (03:18:59) “我马上要考试了。这是我过去三周的笔记。开始考我，看看我是不是真的懂了。”这些孩子的成绩要高得多，然后还有那些孩子：“哦，这套作业一小时后就要交了。你能不能直接告诉我答案？我会把它们写下来——……用我自己的话。”于是，作业进度和考试之间出现了脱钩，我们看到了这种双峰分布。我不知道你们是否也看到了同样的情况。

Lex Fridman (03:19:26) 所以这里隐含的建议是成为那些用 AI 来学习和成长的人之一，成为——

Alex Kontorovich (03:19:36) 成为分布的头部，而不是尾部。

Steven Brunton (03:19:40) 你们介意我们去一下洗手间吗？

Steven Brunton (03:19:43) 不知怎么的，我们把智力变成了某种巅峰，几乎把智力等同于道德。

Alex Kontorovich (03:19:55) 对，或者价值。

Steven Brunton (03:19:56) 还有价值。我认为这与真相相去甚远，对吧？超级智能并不意味着超级道德，我认为这也是对 AI 系统的一大担忧：如果它们是超级智能的，这并不能说明它们会是超级道德的。我认为——

Alex Kontorovich (03:20:11) 对。而且我们一直在推动孩子们去上大学——……不管多少年——

Alex Kontorovich (03:20:14) … 而且每个人都需要，是的。

Steven Brunton (03:20:16) 无论他们研究什么，或者结果是什么，嗯……超级智能似乎赋予你一种超强的合理化能力，而常识——那些农民和世界上其他人，他们有一种感觉，认为这种合理化往往就是扯淡。仅仅因为你能把它说得天花乱坠，让我无法反驳，并不意味着它就是对的。

Alex Kontorovich (03:20:39) 没错。教育和智慧是两回事。

Lex Fridman (03:20:43) 我知道这很难做到，但是 Steve，也许你可以给研究生、大学生，甚至小孩子一些建议，在这个疯狂而快速变化的时代该做些什么？

Steven Brunton (03:20:57) 一定要保持好奇，去阅读，学习所有的基础知识。我认为这一直是个好建议。即使你的计算机线性代数学得比你好，你仍然应该学习线性代数，建立直觉。微积分和物理也是一样。我认为了解历史，把这次变革放在人类历史上其他伟大变革的背景下来理解，是很重要的。但最重要的是保持好奇。

Lex Fridman (03:21:29) 我得说，头脑中的这种好奇心正在被注意力经济不断地窃取。同样的引擎，让你产生好奇心的引擎，也正是让你无休止刷屏的引擎。就像，哦，那是个……所以我认为你必须学会如何避开所有干扰，专注于让好奇心真正去探索某个东西，沉浸其中，比如学一样东西。而 AI 其实在这方面做得很好，因为它们的激励机制是从互动中为你提供价值，而不是激励你沉迷上瘾。我不知道高中生、大学生怎么能仅仅因为手机就在身边就活下来。那个干扰，那个干扰盒子就在眼前。所以要避免干扰，深度专注。

Steven Brunton (03:22:31) 我们小时候都曾感到无聊过。我认为无聊非常重要。

Steven Brunton (03:22:35) 真正地感到无聊——好奇心和专注力往往来自无聊。我希望自己能更经常地感到无聊。我有时会试着这样做。

Alex Kontorovich (03:22:46) 是啊，我们放学回家，五秒钟就做完作业之类的，然后就跑出去了。

Alex Kontorovich (03:22:52) 你希望能碰到其他也刚跑出去的孩子，然后你们一起去找点事做，到晚饭时间再回家——

Lex Fridman (03:23:01) 是的，你其实没有意识到，比如到了高中阶段，甚至更早一些，大学本科阶段也差不多，但它会变得越来越难。但高中真的是一段非常美好的时光，可以尽情学习一切。你会觉得，至少我记得——我不知道现在是什么样，但我觉得现在甚至更有乐趣了。你会想：'好吧，等我长大了，我就能在这个世界上真正做点有用的事了。是啊，我在学习，这非常好'，诸如此类。但你会意识到，从获得满足感的角度来看，从为精彩人生打下基础、让你记住所有这些事情的角度来看，这正是该做的时候，整个世界都在逼你去做，而且他们会因为你坐在那里学习而奖励你。

Lex Fridman (03:23:49) 因为当你走得更远，你知道，甚至到了研究生阶段，这类探索性的东西，你会受到打击，而老天保佑你找到一份工作，那你就肯定会失去学习、探索的动力了。所以探索的时机就是高中。

Alex Kontorovich (03:24:09) 顺便说一下，未获终身教职的教员……都是这样想的：'哦，一旦我拿到终身教职，我就可以坐下来……放松并思考宏大的问题了。'但我必须先产出足够多的成果才能拿到终身教职。而且某种程度上——我们并不希望我们的年轻人为了爬到那个位置而拼死拼活。

Lex Fridman (03:24:31) Ankur，你有什么给学生的建议吗？

Steven Brunton (03:24:34) 所以最后一个发言的问题在于，我觉得我的很多建议都被别人说了，'保持好奇心'肯定是其中之一。

Steven Brunton (03:24:41) 现在我想说的是，出于内在原因去做事也很重要。我注意到的一件事是，你知道，我们这个行业中很多人，很多走学术道路的人，他们做事的原因有时真的是外在的自我定位，因为他们通过别人如何看待自己来衡量自己的价值。这足以让你起步。也许你开始非常努力地学数学，好让别人对你刮目相看，对吧？但在某个时刻，这些可以达成的里程碑都用完了，你就必须有一个内在的理由去做你所做的事情。希望你清楚什么对你重要，你的价值观是什么。

Steven Brunton (03:25:26) 所以我认为如今，你可以听取我们关于保持好奇心的建议，但旧的那套做法真的已经被抛弃了。你可以接受我们的高层次建议，但你必须自己摸索出路，而且你必须能够坦然面对不确定性。而我所知道的应对这种不确定性的唯一方法，就是对自己认为重要的事情、对自己热爱的工作怀有一种使命感，并确保你所做的正是这些事情。因为如果你只是固守旧的那套做法，你最终就会把所有这些 AI 生成的证明拿来，把时间都花在把它们发到 arXiv 上、投给期刊上。我不认为这是任何人投身这个领域的内在原因，真的只是为了给自己的简历镀金。

Steven Brunton (03:26:08) 我不知道未来什么会变得重要，但如果你真的有某种你所信仰的更高使命，那么我认为你将处于一个好得多的位置，去适应这个不断变化的世界，找到你自己的蓝图，并在世界在你身边不断变化时坦然面对不确定性。

Lex Fridman (03:26:23) 这是一个更棘手的问题，但很多收听这个节目的人对未来感到很多焦虑和恐惧。这既关乎工作，也关乎一个有意义的未来。你能否回顾一下自己的人生，当你也曾经历那种不确定性、那种焦虑时？当你身处那样的低谷时，你能给那个人什么建议？

Ankur Moitra (03:26:46) 那么让我，是的，让我试着回答这个问题。这是一个非常难的问题。我讲个小故事，你知道，我们在湾区休学术假，住在 Palo Alto，那里可以说是升学焦虑的震中。你知道，你能真切地感受到。你走进咖啡馆，那种氛围就在空气里——在那个时候。你知道，你现在在做什么课外活动——

Ankur Moitra (03:27:10) ……那会对你有帮助吗？然后就在我刚回到 MIT 的时候，他们请我在那里做毕业典礼演讲，而构思那篇演讲的过程真的很有趣。你知道，你要对整个礼堂里坐满的新生和他们的家人说些什么呢？如果人生是一场游戏，比拼的是如何让一个十七岁的孩子在纸面上看起来尽可能优秀，那他们已经赢了。而我不断想到的是，当年我处在同样的境地、刚开始上大学时，我是多么兴奋，只为了能学到所有这些不同的东西。你知道，我会坐在那里规划我的四年，我有小笔记本，用来琢磨我要上哪些课，如果我以正确的顺序选课，我就能在大二那年选修 photonics。

Ankur Moitra (03:27:54) 我当时完全不知道光子学是什么，但它听起来很有趣——也很高大上。我觉得这方面，你知道，我们现在的社会太多东西都是为了赢、为了在纸面上好看，而我总在想这到底是为了什么。你从高中开始，一走进校门就可以开始优化你的 AP 课程和课外活动，好让自己进入一所精英学府。而当你真的进了那所精英学府，你可能会逃课，因为，你知道，也许重要的是为面试做准备，好让你能在一家前沿实验室找到工作，然后你就能拿到一些不错的，你知道，限制性股票单位，然后度过你的一生。这很棒。你赢了。你在每个阶段都赢了，但那又怎样？

Ankur Moitra (03:28:42) 你知道，对我来说，过上丰富而充实的生活的最好方式，就是假装你已经赢了，然后想想在那种情况下你会做什么。我记得我刚到 MIT 任教时得到的建议。Sanjeev Arora 告诉我：“你知道，获得终身教职最简单的方法，就是假装你已经有了，然后去做你一直以来想做的事。”

Ankur Moitra (03:29:04) 所以我不知道这个建议是否适用于，你知道，研究生，也适用于高中生，但我觉得我的建议不变。假装你已经有终身教职了。你现在会做什么？因为我们提供建议的很多人真的有非常多不同的机会。找到你真正相信的东西，是我所知道的唯一获得满足感的方式。

Steven Brunton (03:29:26) 我曾从一位我敬重的人那里听到过职业建议：一份令人满意的职业，是你能在一个重要、你感兴趣且你擅长的问题上工作。如果你能做到这三点中的两点，你就相当幸运了。如果你能做到三点全中，你就会，你知道，余生都很快乐。所以要有正确的准备，弄清楚你擅长什么、什么有趣、什么重要，然后为此做好准备，你不能保证三点全中，但当机会来临时你要做好准备，然后继续做你真正喜欢做的事。我觉得这是很好的建议。

Lex Fridman (03:30:10) 我觉得我们也应该放在背景中来看，并且非常坦诚。我确实认为你给出的很多建议都适用，但我们应该诚实地说，我正和三颗世界级的人类大脑坐在一起，他们不是已经弄清——找到了自己的道路。你们是幸存者偏差。所以，你知道，有很多在听这个节目的人是这样的——他们相当确定自己找不到自己的道路。那是恐惧，那是焦虑，那是不确定性。是跌跌撞撞了很多次。我觉得，公平地说，一些最有趣的人，对吧，在生活中也跌跌撞撞很多次，无论是外部环境还是内部，无论宇宙带来什么。而对此，我只是知道很多人现在正在感受和观察这一切，因为 AI 正在对我们的社会做的一切。

Lex Fridman (03:31:09) 很多人只是感到恐惧和非常焦虑。我认为 Ankur 说的很有智慧。你可以被那种恐惧所麻痹，或者你可以想象：“我已经赢了。一个已经赢了的人在这种情况下会怎么做？”这会减轻恐惧。它实际上会——在不确定性之下，在高度不确定性之下，在大量不确定性之下，给你一条最优路径。不要用旧的剧本。试着成为那个想出如何写下新的、下一个剧本的人。我认为 Max，Max Tegmark，我和他交谈过很多次，因为他是个狂放的人。他在职业生涯中做了很多古怪而美丽的事情，但他也做过主流的东西。

Lex Fridman (03:31:51) 他说你必须两者都做一点，这样你就不会——你仍然在体制内做足够多的工作，让你成为社区的一部分，成为那个——在那种情况下——是科学和事物发展潮流的一部分，但也要做足够多的叛逆的、狂放的、古怪的事情来开辟你自己的道路， somehow 两者兼顾，找到那个平衡。不要害怕有一点古怪，但也要变得非常娴熟，善于成为社区的一部分，成为社区中受人尊重的一员。所以两者都要。但是就像 Tom Waits 说的，“我喜欢我的 Tom 里带一小滴毒药。”就是一点点古怪，或者有时候很多古怪，才能造就一些美丽的人类。

Steven Brunton (03:32:43) 我认为那个社区的部分实际上在未来会变得更加重要。我们已经进行了大约 30 年的实验，看看我们用机器能做多少事情，现在既然我们能用机器做很多事情，我希望我们会意识到我们其实更喜欢和人一起做事。我们更喜欢飞过去进行面对面的交谈。我们更喜欢口头讨论，而不仅仅是阅读论文。我认为这——我们的日常体验有一个上限……我的意思是，就……而言，是的，我的科学工作和学术生涯给了我很多满足感，但回家陪我的孩子们，如果 FLT 被解决了就去海滩，和他们一起扔球——没有什么能比得上那个。那就是我生命的意义。

Steven Brunton (03:33:31) 其他这些东西是锦上添花，但是，基础是家庭，是人——和我关心的人在一起。

Lex Fridman (03:33:40) 我认为随着 AI 越来越使智能商品化，我们会越来越多地意识到这一点，意识到智能以及我们解决的所有不同的难题只是锦上添花，或者只是旁边的点缀。最重要的是我们生活中的其他人。这——我无法告诉你，你能亲自来交谈是多大的荣幸。我已经成了你们三位的超级粉丝。这——感觉有点超现实，你们今天能和我交谈是莫大的荣幸。这真的，超级有趣。非常感谢。非常感谢，Ankur，Steve，Alex。这太棒了。

Steven Brunton (03:34:23) 感谢邀请我们。

Ankur Moitra (03:34:24) 我们也觉得非常有趣。

Steven Brunton (03:34:25) 谢谢。是的。

Ankur Moitra (03:34:25) 感谢邀请我们。

Steven Brunton (03:34:26) 这次很棒。